Vertex -muoto: Mikä se on? Kuinka lasket sen?

feature_vertexformparabolae

Kun sinulla on toisen asteen kaava ja toisen asteen yhtälöiden perusteet kylmässä, on aika siirtyä seuraavalle tasolle suhteessasi parabolaihin: oppia niiden kärkimuoto .

Lue lisätietoja paraabelin kärkimuodosta ja siitä, kuinka muuntaa toisen asteen yhtälö vakiomuodosta kärkimuotoon.



ominaisuuskuvaluotto: SBA73 /Flickr

Miksi Vertex -lomake on hyödyllinen? Yleiskatsaus

kärkimuoto yhtälö on vaihtoehtoinen tapa kirjoittaa paraabelin yhtälö.

Normaalisti näet toisen asteen yhtälön, joka on kirjoitettu muodossa $ ax^2+bx+c $, joka piirrettäessä on paraabeli. Tästä lomakkeesta on helppo löytää yhtälön juuret (missä parabooli osuu $ x $ -akseliin) asettamalla yhtälö nollaksi (tai käyttämällä toisen asteen kaavaa).

Jos sinun on kuitenkin löydettävä paraabelin kärki, tavallinen neliömuoto on paljon vähemmän hyödyllinen. Sen sijaan haluat muuntaa toisen asteen yhtälönsi kärkimuotoon.

Mikä on Vertex -muoto?

Vaikka tavallinen toisen asteen muoto on $ ax^2+bx+c = y $, toisen asteen yhtälön kärkipiste on $ bi y = bi a ( bi x- bi h)^2+ bi k $.

Molemmissa muodoissa $ y $ on $ y $ -koordinaatti, $ x $ on $ x $ -koordinaatti ja $ a $ on vakio, joka kertoo, onko parabola ylöspäin ($+a $) vai alaspäin ($-$). (Ajattelen sitä ikään kuin parabola olisi kulho omenakastiketta; jos on $+a $, voin lisätä omenasoseen kulhoon; jos on $-$, voin ravistaa omenasoseen kulhosta.)

Ero paraabelin vakiomuodon ja kärkimuodon välillä on, että yhtälön kärkimuoto antaa sinulle myös paraabelin kärjen: $ (h, k) $.

Katso esimerkiksi tätä hienoa paraabelia, $ y = 3 (x+4/3)^2-2 $:

body_afineparabola

Kaavion perusteella paraabelin kärki näyttää olevan jotain (-1,5, -2), mutta pelkästään kuvaajan perusteella on vaikea sanoa tarkalleen, missä kärki on. Onneksi yhtälön $ y = 3 (x+4/3)^2-2 $ perusteella tiedämme, että tämän paraabelin kärki on $ (-4/3, -2) $.

Miksi kärki on $ (-4/3, -2) $ eikä $ (4/3, -2) $ (muu kuin kaavio, mikä tekee selväksi sekä $ x $-että $ y $ -koordinaatit kärki on negatiivinen)?

Muistaa: kärkimuodon yhtälössä $ h $ vähennetään ja $ k $ lisätään . Jos sinulla on negatiivinen $ h $ tai negatiivinen $ k $, sinun on varmistettava, että vähennät negatiivisen $ h $ ja lisäät negatiivisen $ k $.

Tässä tapauksessa tämä tarkoittaa:

$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 = 3 (x- (- 4/3)) ^ 2 + (- 2) $

ja niin kärki on $ (-4/3, -2) $.

Sinun on aina tarkistettava positiiviset ja negatiiviset merkit, kun kirjoitat paraabelin kärkimuotoon , varsinkin jos kärjessä ei ole positiivisia $ x $ ja $ y $ arvoja (tai jos sinulla on kvadranttipäitä, jos se ei ole neljänneksessä I). Tämä on samanlainen kuin tarkistus, jonka tekisit, jos ratkaisisit toisen asteen kaavan ($ x = {-b ± √ {b^2-4ac}}/{2a} $), ja sinun on varmistettava, että pidät positiivisen ja negatiivit suoraan kohteille $ a $ s, $ b $ s ja $ c $ s.

Alla on taulukko, jossa on lisäesimerkkejä muutamasta muusta paraabelin kärkipisteyhtälöstä sekä niiden kärjet. Huomaa erityisesti ero paraabelin kärkipisteen $ (x-h)^2 $ osassa, kun kärjen $ x $ -koordinaatti on negatiivinen.

Parabola Vertex -muoto

Vertex -koordinaatit

$ y = 5 (x-4) ^ 2 + 17 $

(4,17) dollaria

$ y = 2/3 (x-8) ^ 2-1 / 3 $

$ (8, -1 / 3) $

$ y = 144 (x + 1/2) ^ 2-2 $

$ ( - 1/2, -2) $

$ y = 1,8 (x + 2,4) ^ 2 + 2,4 $

(- 2,4,2,4) dollaria

Miten muuntaa tavallisesta neliömuodosta vertex -muotoon

Suurimman osan ajasta, kun sinua pyydetään muuntamaan toisen asteen yhtälöt eri muotojen välillä, siirryt vakiolomakkeesta ($ ax^2+bx+c $) kärkimuotoon ($ a (xh)^2+k $ ).

Yhtälön muuntaminen tavallisesta neliömuodosta kärkimuotoon sisältää joukon vaiheita, joita kutsutaan neliön täydentämiseksi. (Jos haluat lisätietoja neliön täyttämisestä, lue tämä artikkeli.)

Käydään läpi esimerkki yhtälön muuntamisesta vakiomuodosta kärkimuotoon. Aloitamme yhtälöllä $ y = 7x^2+42x-3/14 $.

Ensimmäinen asia, jonka haluat tehdä, on siirtää vakio tai termi ilman $ x $ tai $ x^2 $ sen vieressä. Tässä tapauksessa vakio on $ -3/14 $. (Tiedämme, että on negatiivinen $ 3/14 $, koska vakioasteen yhtälö on $ ax^2+bx+c $, ei $ ax^2+bx-c $.)

Ensinnäkin otamme sen $ -3/14 $ ja siirrämme sen yhtälön vasemmalle puolelle:

$ y + 3/14 = 7x ^ 2 + 42x $

Seuraava askel on laskea 7 (yhtälön $ a $ -arvo) oikealta puolelta seuraavasti:

$ y + 3/14 = 7 (x ^ 2 + 6x) $

Loistava! Tämä yhtälö muistuttaa paljon enemmän kärkimuotoa, $ y = a (x-h)^2+k $.

Tässä vaiheessa saatat ajatella: 'Minun tarvitsee nyt vain siirtää $ 3/14 $ takaisin yhtälön oikealle puolelle, eikö?' Voi ei, niin nopeasti.

Jos tarkastelet osaa sulkeissa olevasta yhtälöstä, huomaat ongelman: se ei ole muodossa $ (x-h)^2 $. $ X $ s on liikaa! Joten emme ole vielä valmiita.

Meidän on nyt tehtävä se vaikein osa - täyttää neliö.

Katsotaanpa tarkemmin $ x^2+6x $ osaa yhtälöstä. Jotta tekijä $ (x^2+6x) $ muuttuisi $ (xh)^2 $: ksi, meidän on lisättävä vakio sulkeiden sisäpuolelle - ja meidän on muistettava lisätä tämä vakio myös yhtälön toiselle puolelle (koska yhtälön on pysyttävä tasapainossa).

Tämän asettamiseksi (ja varmista, ettemme unohda lisätä vakio yhtälön toiselle puolelle), luomme tyhjän tilan, jossa vakio menee yhtälön kummallekin puolelle:

$ y + 3/14 + 7 ($ $) = 7 (x ^ 2 + 6x + $ $) $

Huomaa, että yhtälön vasemmalle puolelle varmistimme, että sisällytimme $ a $ -arvon 7 sen tilan eteen, johon vakio menee; tämä johtuu siitä, että emme lisää vain vakioita yhtälön oikealle puolelle, vaan kerromme vakion millä tahansa, joka on sulkeiden ulkopuolella. (Jos $ a $ arvo on 1, sinun ei tarvitse huolehtia tästä.)

Seuraava vaihe on neliön viimeistely. Täyttämäsi neliö on tässä tapauksessa suluissa oleva yhtälö - lisäämällä vakio muutat sen yhtälöksi, joka voidaan kirjoittaa neliöksi.

Laske tämä uusi vakio ottamalla arvo $ x $ (tässä tapauksessa 6), jaa se kahdella ja neliöi se.

$ (6/2)^2 = (3)^2 = 9 $. Vakio on 9.

Syy puolittaa kuusi ja neliö, koska tiedämme, että yhtälössä muodossa $ (x+p) (x+p) $ (mihin yritämme päästä), $ px+px = 6x $, joten $ p = 6/2 $; saadaksemme vakion $ p^2 $, meidän on siis otettava $ 6/2 $ (meidän $ p $) ja neliöitävä se.

Korvaa nyt tyhjä tila yhtälömme kummallakin puolella vakiona 9:

$ y + 3/14 + 7 (9) = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $

$ y + 63 {3/14} = 7 (x ^ 2 + 6x + 9) $

Seuraavaksi tekijä suluissa oleva yhtälö. Koska saimme neliön valmiiksi, voit laskea sen arvoksi $ (x+{ some number})^2 $.

$ y + 63 {3/14} = 7 (x + 3) ^ 2 $

Viimeinen vaihe: siirrä muu kuin $ y $ -arvo yhtälön vasemmalta puolelta takaisin oikealle puolelle:

$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $

veden tiheys meissä yksiköissä

Onnittelut! Olet onnistuneesti muuttanut yhtälösi tavallisesta neliömuodosta huippumuotoon.

Useimmat ongelmat eivät vain pyydä sinua muuntamaan yhtälöt vakiomuodosta kärkimuotoon; he haluavat sinun itse antavan paraabelin kärjen koordinaatit.

Välttääksesi merkkien muutosten huijaamisen, kirjoitetaan yleinen kärkimuodon yhtälö suoraan juuri laskemamme kärkimuotoyhtälön yläpuolelle:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

$ y = 7 (x + 3) ^ 2-63 {3/14} $

Ja sitten voimme helposti löytää $ h $ ja $ k $:

$ -h = 3 $

$ h = -3 $

$ + k = -63 {3/14} $

Tämän paraabelin kärki on koordinaateilla $ (-3, -63 {3/14}) $.

Vau, siinä oli paljon sekoittavia numeroita! Onneksi yhtälöiden muuntaminen toiseen suuntaan (kärjestä vakiomuotoon) on paljon yksinkertaisempaa.

body_shufflearoundnumbers

Miten muuntaa Vertex -lomakkeesta vakiomuotoon

Yhtälöiden muuntaminen niiden kärkimuodosta tavalliseen toisen asteen muotoon on paljon yksinkertaisempi prosessi: sinun tarvitsee vain kertoa kärkimuoto.

Otetaan esimerkkiyhtälö aikaisemmasta, $ y = 3 (x+4/3)^2-2 $. Jos haluat muuttaa tämän vakiomuodoksi, laajennamme vain yhtälön oikeaa puolta:

$$ y = 3 (x + 4/3) ^ 2-2 $$

$$ y = 3 (x + 4/3) (x + 4/3) -2 $$

$$ y = 3 (x ^ 2 + {8/3} x + 16/9) -2 $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} -2 $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + {16/3} - {6/3} $$

$$ y = 3x ^ 2 + 8x + 10/3 $$

Tada! Olet muuntanut $ y = 3 (x+4/3)^2-2 $ sen $ ax^2+bx+c $ muotoon.

body_vertexformquestions

Parabola Vertex Form Practice: Esimerkkikysymyksiä

Tämän kärkipistemuodon tutkimuksen loppuun saattamiseksi meillä on neljä esimerkkitehtävää ja selitystä. Katso, voitko ratkaista ongelmat itse, ennen kuin luet selitykset!

# 1: Mikä on toisen asteen yhtälön $ x^2+ 2.6x+ 1.2 $ kärkipiste?

# 2: Muunna yhtälö $ 7y = 91x^2-112 $ kärkimuotoon. Mikä on kärki?

# 3: Kun otetaan huomioon yhtälö $ y = 2 (x-3/2)^2-9 $, mitkä ovat $ x $ -koordinaatit siitä, missä tämä yhtälö leikkaa $ x $ -akselin?

# 4: Etsi paraabelin $ y = ({1/9} x-6) (x+4) $ kärki.

body_vertexformsolutions

Parabola Vertex Form Practice: Ratkaisut

#1: Mikä on toisen asteen yhtälön $ { bi x^2}+ 2.6 bi x+ 1.2 $ kärkipiste?

Aloita erottamalla muuttuja, joka ei ole $ x $, yhtälön toiselle puolelle:

$ y-1,2 = x ^ 2 + 2,6x $

Koska $ a $ (kuten $ ax^2+bx+c $) alkuperäisessä yhtälössä on yhtä kuin 1, meidän ei tarvitse laskea sitä oikealta puolelta (vaikka halutessasi voit kirjoittaa $ y-1,2 = 1 (x^2+2,6x) $).

Jaa seuraavaksi $ x $ -kerroin (2.6) kahdella ja neliöi se, ja lisää sitten saatu luku yhtälön molemmille puolille:

$ (2,6 / 2) ^ 2 = (1,3) ^ 2 = 1,69 $

$ y-1,2 + 1 (1,69) = 1 (x ^ 2 + 2,6x + 1,69) $

Kerro yhtälön oikea puoli suluissa:

$ y-1,2 + 1,69 = (x + 1,3) ^ 2 $

Lopuksi yhdistä yhtälön vasemmalla puolella olevat vakiot ja siirrä ne sitten oikealle puolelle.

$ y-1,2 + 1,69 = (x + 1,3) ^ 2 $

$ y + 0,49 = (x + 1,3) ^ 2 $

Vastauksemme on $ y = (x+1.3)^2-0.49 $.

#2: Muunna yhtälö $ 7 bi y = 91 bi x^2-112 $ kärkimuotoon. Mikä on kärki?

Kun muunnat yhtälön kärkimuotoon, haluat $ y $: n kertoimen 1, joten ensimmäinen asia, jonka aiomme tehdä, on jakaa tämän yhtälön molemmat puolet 7: llä:

7 $ = 91 x^2-112 $

{7v}/7 = {91x^2}/7-112/7 $

$ y = 13x ^ 2-16 $

kenen kanssa skorpioni on yhteensopiva

Siirrä sitten vakio yhtälön vasemmalle puolelle:

$ y + 16 = 13x ^ 2 $

Kerro $ x^2 $ -luvun ($ a $) kerroin yhtälön oikealta puolelta

$ y + 16 = 13 (x ^ 2) $

Normaalisti sinun on täytettävä neliö suluissa olevan yhtälön oikealla puolella. Kuitenkin $ x^2 $ on jo neliö, joten sinun ei tarvitse tehdä muuta kuin siirtää vakio yhtälön vasemmalta puolelta takaisin oikealle puolelle:

$ y = 13 (x ^ 2) -16 $.

Etsi nyt kärki:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

$ y = 13 (x ^ 2) -16 $

$ -h = 0 $, joten $ h = 0 $

$+k = -16 $, joten $ k = -16 $

Paraabelin kärki on $ (0, -16) $.

#3: Kun otetaan huomioon yhtälö $ bi y = 2 ( bi x-3/2)^2-9 $, mitkä ovat $ bi x $ -koordinaatit, joissa tämä yhtälö leikkaa $ bi x $ -akseli?

Koska kysymys pyytää sinua löytämään yhtälön $ x $ -interceptin, ensimmäinen askel on asettaa $ y = 0 $.

$ y = 0 = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $.

Nyt on pari tapaa lähteä täältä. Salainen tapa on käyttää sitä tosiasiaa, että kärkipistemuotoon on jo kirjoitettu neliö eduksi.

Siirrä ensin vakio yhtälön vasemmalle puolelle:

0 $ = 2 (x-3/2) ^ 2-9 $

9 dollaria = 2 (x-3/2) ^ 2 $

Seuraavaksi jaamme yhtälön molemmat puolet kahdella:

9/2 dollaria = (x-3/2) ^ 2 $

Nyt, salakavala osa. Ota yhtälön molemmin puolin neliöjuuri:

$ √ (9/2) = √ {(x-3/2) ^ 2} $

$ ± 3 / {√2} = (x-3 /2) $

$ ± {{3√2} / 2} = x- {3/2} $

$ {3√2}/2 = x- {3/2} $ ja $ {-3√2}/2 = x- {3/2} $

$ x = 3/2+{3√2}/2 $ ja $ x = 3/2- {3√2}/2 $

Vaihtoehtoisesti voit löytää yhtälön juuret muuntamalla ensin yhtälön kärkimuodosta takaisin tavalliseen toisen asteen yhtälömuotoon ja käyttämällä sitten toisen asteen kaavaa sen ratkaisemiseksi.

Kerro ensin yhtälön oikea puoli:

0 $ = 2 (x- {3/2}) ^ 2-9 $

0 $ = 2 (x^2- {6/2} x+{9/4})-9 $

$ 0 = 2x ^ 2-6x + {9/2} -9 $

Yhdistä sitten vastaavat termit:

$ 0 = 2x ^ 2-6x-9/2 $

Tässä vaiheessa voit joko päättää yrittää selvittää factoringin itse kokeilemalla ja erehtymällä tai liittää yhtälön toisen asteen kaavaan. Jos näen kerroimen $ x^2 $ vieressä, olen yleensä oletuksena toisen asteen kaavassa sen sijaan, että yrittäisin pitää kaiken suorana päässäni, joten käydään tämä läpi.

Muista, että $ 2x^2-6x-9/2 $ on muodossa $ ax^2+bx+c $:

$ x = {-b ± √ {b^2-4ac}}/{2a} $

$ x = {- (- 6) ± √ {(- 6) ^ 2-4 (2) (- 9/2)}} / {2 (2)} $

$ x = {6 ± √ {36-4 (-9)}} / 4 $

$ x = {6 ± √ {36 + 36}} / 4 $

$ x = {6 ± √ {72}} / 4 $

$ x = {6+6√2}/4 $ ja $ x = {-6-6√2}/4 $

$ x = 3/2+{3√2}/2 $ ja $ x = 3/2- {3√2}/2 $

#4: Etsi paraabelin kärki $ bi y = ({1/9} bi x-6) ( bi x+4) $.

Ensimmäinen vaihe on kertoa $ y = ({1/9} x-6) (x+4) $ niin, että vakio on erillinen $ x $ ja $ x^2 $ ehdoista.

y = {1/9} {x ^ 2} + (- 6+ {4/9}) x-24

Siirrä sitten vakio yhtälön vasemmalle puolelle.

$ y + 24 = {1/9} {x ^ 2} - {50/9} x $

Kerro $ a $ -arvo yhtälön oikealta puolelta:

$ y + 24 = {1/9} (x ^ 2-50x) $

Luo yhtälön kummallekin puolelle väli, johon lisäät vakion neliön täydentämiseksi:

$ y + 24 + 1/9 ($) = {1/9} (x ^ 2-50x + $) $

Laske vakio jakamalla $ x $ -termin kerroin puoleen ja neliöimällä se:

$ (- 50/2) ^ 2 = (- 25) ^ 2 = 625 $

Lisää laskettu vakio takaisin yhtälöön molemmin puolin täydentääksesi neliön:

$ y + 24 + {1/9} (625) = {1/9} (x ^ 2-50x + 625) $

Yhdistä samankaltaiset termit yhtälön vasemmalla puolella ja kirjoita yhtälön oikea puoli suluissa:

$ y + {216/9} + {625/9} = {1/9} (x-25) ^ 2 $

$ y + {841/9} = {1/9} (x-25) ^ 2 $

Tuo yhtälö vasemmalla puolella oleva vakio takaisin oikealle puolelle:

y = {1/9} (x-25) ^ 2- {841/9}

Yhtälö on huipun muodossa, huhhuh! Etsi nyt paraabelin kärki:

$ y = a (x-h) ^ 2 + k $

y = {1/9} (x-25) ^ 2- {841/9}

$ -h = -25 $ eli $ h = 25 $

$+k =-{841/9} ≈-93,4 $ (pyöristetty)

Paraabelin kärki on kohdassa $ (25, -93,4) $.

body_parabolaquadraticform

Mielenkiintoisia Artikkeleita

ACT-tuloskaavio: Raaka pisteet muunnetaan skaalattuun pisteeseen

Kuinka muunat ACT-raaka-asteikon skaalatuksi pisteeksi? Laske ACT-pistemäärä täällä muuntokaavion avulla.

Seattlen yliopiston pääsyvaatimukset

1370 SAT-pisteet: Onko tämä hyvä?

Morehouse College pääsyvaatimukset

Stratfordin yliopisto - Woodbridgen pääsyvaatimukset

Mitä tarvitset USF: lle: ACT-tulokset ja GPA

Mikä on Iambic Pentameter runoudessa?

Onko sinulla vaikeuksia ymmärtää jambisen pentametrin määritelmää? Tutustu tämän tyyppisten mittarien täydelliseen oppaaseemme, mukaan lukien syväanalyysit jambic -pentameter -esimerkeistä.

Mitä sinun on tiedettävä El Cerriton vanhemmasta lukiosta

Löydä osavaltioiden sijoitukset, SAT / ACT-tulokset, AP-luokat, opettajien verkkosivustot, urheilutiimit ja paljon muuta El Cerriton vanhemmasta lukiosta El Cerritossa, Kaliforniassa.

Mitä ovat lukion arvosanat? Yhteiskunnat ja luokat

Mitä ovat lukion arvosanat? Tarkoittaako se kursseja tai kunnianosoituksia esimerkiksi NHS: lle? Lue täältä lisää siitä, pitäisikö sinun saada kunnianosoituksia.

Concordia University St.Paul ACT -tulokset ja GPA

Mount Holyoke College ACT -tulokset ja GPA

Jeffersonin terveystieteiden korkeakoulun pääsyvaatimukset

Keskusopiston pääsyvaatimukset

Elizabethtown Collegen pääsyvaatimukset

Carlos Albizun yliopisto - Miamin pääsyvaatimukset

William Woodsin yliopiston pääsyvaatimukset

Mikä on kauppakoulu? Kuinka voit hakea?

Mikä on ammattikoulu? Selitämme, miksi saatat käydä kauppakorkeakoulua, mitä voit opiskella siellä ja miten hakea.

2016-17 Akateeminen opas | Morenon laakson lukio

Löydä osavaltioiden sijoitukset, SAT / ACT-tulokset, AP-luokat, opettajien verkkosivustot, urheilutiimit ja paljon muuta Moreno Valley High Schoolista Moreno Valley, CA.

Kuinka kirjoittaa stand-out 'Miksi Columbia' -essee

Etsitkö 'Miksi Columbia' -esseitä, jotka toimivat? Tutustu 'Miksi Columbia' -esseesimerkkiimme ja saat vinkkejä oman vastauksesi kirjoittamiseen kehotteeseen.

7 vaihetta lääkäriksi: täydellinen opas

Harkitsetko lääketieteen uraa? Täydellinen oppaamme opastaa sinua opiskelemaan lääkäriksi lukiosta residenssiin asiantuntijavinkkien avulla.

Kuinka päästä sisään: Texasin osavaltion pääsyvaatimukset

820 SAT -pisteet: Onko tämä hyvä?

Suihkulähteen laakson lukio 2016-17 rankingit | (Fountain Valley,)

Löydä osavaltioiden rankingit, SAT / ACT-tulokset, AP-luokat, opettajien verkkosivustot, urheilutiimit ja paljon muuta Fountain Valley High Schoolista Fountain Valley, CA.

Täydellinen opas: UConn SAT -pisteet ja GPA

11 parasta tietojenkäsittelytieteen kilpailua nuorille

Oletko lukiolainen, joka etsii tietojenkäsittelytieteen kilpailuja osallistuakseen? Tutustu oppaaseemme oppilaiden parhaista koodauskilpailuista.