Kolmiot SAT-matematiikasta: geometrian strategiat ja käytännön ongelmat

feature_triangles.jpg

Kolmion kysymykset muodostavat alle 10% kaikista SAT-matemaattisista kysymyksistä. Tästä huolimatta haluat silti saada nämä kysymykset oikeiksi, joten sinun pitäisi olla valmis tuntemaan kaikenlaiset kolmiot: suorakulmaiset kolmiot, tasakylkiset kolmiot, tasakylkiset suorakulmaiset kolmiot - SAT voi testata sinua jossakin niistä. Koska kolmion ongelmat muodostavat vain pienen osan SAT-matematiikkakysymyksistä, sinun ei pitäisi käyttää koko opiskeluajaasi kolmioihin.

Tämän artikkelin pitäisi olla kaikki mitä tarvitset valmistautuaksesi käsittelemään SAT-kolmion kysymyksiä. Ilmoitan sinulle SAT: ssa näkyvät kolmiotyypit, niiden kaavat ja strategiat, joita sinun on sovellettava lähestyttäessäsi kolmion kysymystä. Jaon myös SAT-matematiikkakysymykset ja selitän, kuinka kolmiokysymyksiä lyödä puistosta.



Mitkä ovat kolmiot?

Ensinnäkin, puhutaan perusasiat. Kolmio on tasainen kuvio, joka koostuu kolmesta suorasta viivasta, jotka yhdistyvät toisiinsa kolmessa kulmassa. Näiden kulmien summa on 180 °.

Kukin kolmion kolmesta sivusta kutsutaan kolmion jalaksi ja suorakulmion pisin jalka kutsutaan hypotenukseksi. Hypotenuusaa vastapäätä oleva kulma on aina 90 °, suurin kolmesta kulmasta.

body_SAT_triangles_leg_example

body_classification-1.png Kun tarkastelemme monia erilaisia ​​tyyppejä, huomaat, että monet kolmioluokat ovat muiden kolmioluokkien osajoukkoja ja määritelmät kapenevat edelleen.

Erityiset kolmiot

On olemassa useita erilaisia ​​erityiskolmioita, jotka kaikki näkyvät yleisesti SAT: ssa.

Tässä osassa määritellään ja kuvataan kaikki testissä näkyvät kolmiotyypit. Seuraavassa osassa käydään läpi kaikki kaavat, jotka sinun on tiedettävä SAT-kolmion ongelmiin, sekä niiden käyttö.

Tasasivuiset kolmiot

Tasasivuinen kolmio on kolmio, jolla on kolme yhtä suurta jalkaa ja kolme yhtä suurta kulmaa. Vaikka jalkamittaukset voivat olla mitä tahansa (niin kauan kuin ne ovat kaikki yhtä suuret), on kulmamittausten kaikkien oltava yhtä suuret 60 °. Miksi? Koska kolmion kulmien on aina oltava yhteensä 180 ° ja $ {180} / {3} = 60 $.

body_equilateral

Katsotaanpa tämäntyyppisiä kolmioita toiminnassa. HUOMAUTUS: tämä kysymys on muokattu vanha SAT-kysymys uuden SAT-tyylin tapaan.

body_trianglequestion1.png

Yllä olevassa kuvassa kolmio ABC on merkitty ympyrään, jonka keskipiste on O ja halkaisija AC. Jos $ ov {AB} = ov {AO} $, mikä on∠ABO: n aste?

(A) 15 °

(B) 30 °

(C) 45 °

(D) 60 °

Vastaus Selitys: Meille kerrotaan, että kaksi ympyrän sivupituuksista on yhtä suuria, ja meidän on löydettävä tuntematon kulma ∠ABO. Jos olet perehtynyt piireissä , niin tiedät, että kaikki ympyrän säteet ovat samat.

Viivat $ ov {AO} $ ja $ ov {OB} $ ovat molemmat ympyrän säteitä, joten niiden on oltava yhtä suuria.

Tämä tarkoittaa, että ympyrän BOA kaikki kolme osaa - viivat $ ov {AO} $, $ ov {OB} $ ja $ ov {BA} $ - ovat yhtä suuret. Ja tiedämme, että meillä on kolme yhtä suurta kolmion jalkaa, mikä tarkoittaa, että meillä on tasasivuinen kolmio.

Tiedämme myös, että tasasivuisilla kolmioilla on kolme yhtä suurta sisäkulmaa, jotka kaikki ovat 60 astetta. Tämä tarkoittaa, että kulma ABO on 60 astetta.

Viimeinen vastauksemme on D, 60 °.

Tasakylkiset kolmiot

Tasakylkinen kolmio on kolmio, jossa kaksi sivua ja kaksi kulmaa ovat yhtä suuret.

body_isosceles

Tasapuolisia kulmia vastapäätä olevat sivut ovat aina samat, ja tasapuolisten reunojen vastapuolet ovat aina yhtä suuret. Tämä tieto johtaa usein oikeisiin vastauksiin moniin SAT-kysymyksiin, joissa näyttää siltä, ​​että sinulle annetaan hyvin vähän tietoa.

body_triaques2.png

Vastaus Selitys: Koska kysymys kertoo sinulle, että $ 180 − z = 2y $ ja $ y = 75 $, tiedämme, että $ 180 − z = (2) (75) $ ja ratkaiseminen antaa sinulle $ z = 30 $. Jos $ z = 30 $, niin oikeanpuoleisen tasakylkisen kolmion peruskulman on oltava 75 ° ($ {180−30} / {2} $). Siksi $ x ° $ -merkitty kulma on $ 180 ° −75 ° = 105 ° $, joten $ x $: n arvo on 105. Vastaus on 105.

Oikeat kolmiot

Suora kolmio on kolmio, jossa yksi kulmista on 90 ° (90 ° on suorakulma). Tämä tarkoittaa, että summa Kahden muun kulman on oltava myös 90 °, koska kolmion kulmat ovat aina 180 °.

body_right_triangle

Erityiset oikeat kolmiot

On olemassa monia erilaisia ​​suorakulmioita, ja joitain pidetään erityisinä. Nämä ovat kolmioita, jotka ovat asettaneet kulmat tai sivupituudet ja kaavat vastaamaan niitä. Tämäntyyppisten kolmioiden (ja niiden kaavojen) ymmärtäminen säästää huomattavasti aikaa kolmiokysymyksissä.

Käymme läpi tämän tyyppisiä kolmioita vastaavat kaavat seuraavassa osiossa, mutta toistaiseksi käymme läpi niiden määritelmät.

Tasakylkinen oikea kolmio

Tasakylkinen suorakulmio on juuri se miltä se kuulostaa - suorakulmio, jossa kaksi sivua ja kaksi kulmaa ovat yhtä suuret.

Vaikka sivumittaukset voivat muuttua, tasakylkisellä kolmiolla on aina yksi 90 ° ja kaksi 45 ° kulmaa. (Miksi? Koska suorakulmiossa on oltava määritelmän mukaan yksi 90 ° kulma ja kahden muun kulman on oltava yhteensä 90 °. Joten $ {90} / {2} = 45 $.


body_isosceles_right

30-60-90 kolmioita

30-60-90-kolmio on erityinen suorakulmio, joka määritetään sen kulmien avulla. Se on suorakulmio 90 ° kulmansa vuoksi, ja kahden muun kulman on oltava 30 ° ja 60 °.

Se on myös puolet tasasivuisesta kolmiosta. Kuten aiemmin mainitsin, tasasivuisella kolmiolla on kolme yhtä suurta kulmaa, jotka kaikki ovat 60 °. Jos kiinnität tähän kolmioon toisen 30-60-90 kolmion (pitkin 60 ° vastakkaista jalkaa), sinulla on tasasivuinen kolmio, jonka kaikki kulmat ovat 60 °.

body_30-60-90

3-4-5 ja 5-12-13 suorat kolmiot

3-4-5 ja 5-12-13 kolmiot ovat erityisiä suorakulmioita, jotka on määritelty niiden sivupituuksilla. Numerot 3-4-5 ja 5-12-13 kuvaavat kolmion jalkojen pituuksia, mikä tarkoittaa, että kun sinulla on suorakulmio, jossa on yhden jalan pituus 4 ja hypotenuusin pituus 5, tiedät automaattisesti, että kolmas jalka on yhtä kuin 3.

kehon_puolen_pituudet-1

Näiden numeroiden kaikki johdonmukaiset kerrannaiset toimivat myös samalla tavalla. Joten suorakulmion jalan pituus voi olla:

3 (1) -4 (1) -5 (1) => 3-4-5

3 (2) -4 (2) -5 (2) => 6-8-10

3 (3) -4 (3) -5 (3) => 9-12-15

Ja niin edelleen.

Näitä pidetään erityisinä suorakulmioina, koska niiden kaikki sivut ovat kokonaislukuja.

body_Pythagoras.jpg

Tunnustetaanko tämä komea kaveri? Koska Pythagoras on täällä välittämässä kolmion viisautta.

Kolmion kaavat

Nyt kun tiedät miltä kaikki kolmiosi näyttävät, käydään läpi, kuinka löytää puuttuvat muuttujat ja tiedot niistä.

body_formulas-1.png

Tämä on kaavojen laatikko, joka annetaan jokaisessa SAT-matemaattisessa osiossa. Vaikka kaikki kaavat, jotka sinun on tiedettävä kolmiota varten, ovat kaikki mukana, sinun on ymmärrettävä, miten ja miksi nämä kaavat toimivat sekä milloin niitä käytetään. Se säästää myös aikaa ja vaivaa näiden muistamiseen pikemminkin kuin selaamalla edestakaisin ongelman ja kaavaruudun välillä.

Niin muistaa kaavat, jos mahdollista, ja lue alla nähdäksesi, mitä nämä kaavat tarkoittavat ja miten niitä käytetään. Kaikki maailman kaavakentät eivät ole paperin arvoisia, joihin ne on painettu, jos et tiedä, miten niitä käytetään ongelmien ratkaisemisessa.

Kaikki kolmiot

Jotkut kaavat koskevat kaikkia kolmioita, kun taas toiset kaavat koskevat vain erikoiskolmioita. Joten katsotaan ensin kolmion kaavat, jotka koskevat kaikkia ja kaikkia kolmiotyyppejä.

Alue

$$ a = {1} / {2} bh $$

$ b $ on kolmion pohja, joka on minkä tahansa kolmion jalan pituus.

$ h $ on kolmion korkeus, joka saadaan piirtämällä suora viiva (90 °: n kulmassa) kolmion pohjasta vastakkaiseen kulmaan pohjasta.

Tämä tarkoittaa, että suorassa kolmiossa korkeus on jalan pituus, joka kohtaa 90 ° kulmassa alustaan ​​nähden. Ei-suorassa kolmiossa sinun on luotava uusi viiva korkeudellesi.

kehon_kolmion_korkeus

Kehä

p = l1+ l2+ l3

Aivan kuten minkä tahansa muun tasogeometrialuvun kohdalla, kolmion kehä on sen ulkopintojen summa (kolmion kolme jalkaa).

body_leg_perimeter

Oikeat kolmiot

On myös kaavoja, jotka koskevat suorakulmioita ja tietyntyyppisiä suorakulmioita. Katsotaanpa.

Pythagoraan lause

että2+ b2= c2

Pythagoraan lauseen avulla voit löytää suorakulmion sivupituudet käyttämällä sen muiden sivujen pituuksia. a ja b tarkoittavat kolmion lyhyempiä jalkoja, kun taas c on aina 90 ° kulmaa (hypotenuusa) vastapäätä oleva jalka.

3-4-5 ja 5-12-13 kolmiot (ja niiden kerrannaiset) ovat erityisiä, koska sinun ei tarvitse työskennellä Pythagoraan lauseen läpi kolmannen pituuden sivumittojen löytämiseksi (tosin tietysti aina voit ). Muista, että jos suorakulmion toinen sivu on 8 ja sen hypoteneesi on 10, tiedät automaattisesti, että kolmas sivu on 6.

Trigonometriset kaavat: sini ja kosini

Trigonometria muodostaa alle 5% kaikista matemaattisista kysymyksistä, mutta et pysty vastaamaan trigonometriakysymyksiin oikein tuntematta trigonometrian kaavoja. Tutustu trigonometriaoppaaseen oppiaksesi kaikki tarvitsemasi kaavat ja oppia käyttämään kaavoja SAT-matemaattisiin kysymyksiin.

Tasakylkinen oikea kolmio

x, x, x√2

Vaikka löydät tasakylkisen kolmion puuttuvat sivupituudet Pythagoraan lauseen avulla, voit myös tehdä pikakuvakkeen ja sanoa, että yhtä suuret sivupituudet ovat kukin x ja hypotenuus on $ x√2 $.

body_x_x_x_root_2-1

Miksi tämä toimii? Ajattele tasakylkistä kolmiota, jonka jalan pituus on 6.

body_isosceles_6_leg

Tiedämme, että myös toisen jalan on oltava yhtä suuri kuin 6, koska molemmat jalat ovat yhtä suuret tasakylkisessä kolmiossa. Ja voimme myös löytää hypotenuksen Pythagoraan lauseen avulla, koska se on suorakulmainen kolmio. Niin:

62+62= c2

36 + 36 = c2

72 = c2

$$ c = √72 $$

$ c = √36 * √2 $ (Miksi pystyimme jakamaan juuremme tällä tavalla? Katso SAT-oppaamme edistyneet kokonaisluvut ja sen juuria käsittelevä osa, jos tämä prosessi ei ole sinulle tuttu.)

$ c = 6√2 $

Joten meille jää sivupituudet 6, 6 ja $ 6√2 $. Tai toisin sanoen sivupituuksemme ovat x, x ja $ x√2 $.

30-60-90 kolmio

$$ x, x√3, 2x $$

Aivan kuten tasakylkisellä suorakulmaisella kolmiolla, 30-60-90 kolmiolla on sivupituudet, jotka sanelevat joukko sääntöjä. Jälleen löydät nämä pituudet Pythagoraan lauseen avulla, mutta voit myös aina löytää ne käyttämällä sääntöä: $ x, x√3, 2x $, jossa $ x $ on 30 ° vastapuoli, $ x√3 $ on 60 ° vastapäätä ja $ 2x $ on 90 ° vastapäätä.

body_30-60-90_example.png

Tämä tieto voi auttaa sinua löytämään sivujen pituudet, kun annetaan monimutkaisempi kolmio-ongelma.

body_studious.jpg Koira on ylpeä ahneudestasi juuri nyt. (Niin paljon ahkera.)

Tyypillisiä kolmion kysymyksiä

Katsotaanpa joitain vakiokysymystyyppejä kussakin luokassa. HUOMAUTUS: esitetyt kysymysesimerkit eivät ole peräisin virallisista SAT-testeistä, koska uusi uudistettu SAT alkaa vasta maaliskuussa 2016. Nämä kysymykset on otettu College Boardin uusista SAT-käytännön testeistä tai mukautettu muista College Boardin oppimateriaaleista uutta SAT: ta varten.

# 1: Puuttuvien arvojen löytäminen

Suurin osa kolmion ongelmista kuuluu tähän luokkaan - sinua pyydetään etsimään puuttuva kulma, alue, kehä tai sivupituus (muun muassa) annettujen tietojen perusteella.

Jotkut näistä kysymyksistä ovat monimutkaisempia kuin toiset, mutta SAT antaa sinulle aina tarpeeksi tietoa ongelman ratkaisemiseksi, joten sinun on itse koottava vihjeet.

Käydään läpi tämän tyyppinen esimerkkikysymys:

body_triaques7.png
Huomaa: Kuvaa ei ole piirretty mittakaavassa.

Yllä olevassa kuvassa viiva m on yhdensuuntainen linjan kanssa n , linja d on kohtisuorassa linjaan nähden n ja linja Ja leikkaa viivan m ja linja n . Mikä on x: n pituus?

Vastaus Selitys: Koska linja d ja linja Ja leikkaavat kohdassa C,> ACB ja ∠DCE ovat pystykulmat, ja siksi ne ovat yhtä suuria. Koska linja m on yhdensuuntainen linjan kanssa n , ECDEC ja ∠CAB ovat poikittaisesti leikattujen rinnakkaisten viivojen vaihtoehtoiset sisäkulmat, joten ∠DEC: n ja ∠CAB: n mitat ovat samat. Kulma-kulma-lauseen mukaan kolmio ABC on samanlainen kuin kolmio EDC, jonka pisteet A, B ja C vastaavat vastaavasti pisteitä E, D ja C.

korttipelit 2 aikuiselle

Kolmio EDC on myös suorakulmainen kolmio, joten voit käyttää joko Pythagoraan lauseen tai 3-4-5 suorakulmion tuntemustasi saadaksesi selville, että hypotenuus on 5.

Koska kolmio ABC on samanlainen kuin kolmio EDC, kahden kolmion vastaavien sivujen pituussuhteet ovat samat, joten $ {CD} / {BC} = {3} / {5} = {DE} / {AB} = {4} / {x} $.

Ratkaisemalla hintaan $ x $ saadaan 3x = 20 $. Siksi $ x = {20} / {3} $.

# 2: Suhteet ja (ei) tasa-arvot

Tämän tyyppiset kysymykset yleensä pyytävät sinua joko etsimään eri kolmioiden osien väliset suhteet tai kysymään, ovatko tietyt kolmioiden sivut tai kulmat yhtä suuret vai epätasaiset.

body_triaques3.png

Vastaus Selitys: Kulmat ABE ja DBC ovat pystykulmia (eli ne ovat kahden vastakkaisen kulman pareja, jotka muodostavat kaksi leikkaavaa viivaa), ja siksi niillä on sama mitta. Koska segmentti AE on yhdensuuntainen segmentin CD kanssa, kulmat A ja D ovat samalla mitalla vaihtoehtoisen sisäkulmalauseen mukaan. Koska kaikki kulmat ovat yhtä suuria kolmioissa ABE ja DBC, kolmio ABE on samanlainen kuin kolmio DBC, jolloin pisteet A, B ja E vastaavat pisteisiin D, B ja C, vastaavasti. Siksi,

body_triaques3a.png
Tämän ratkaisemalla saat CB = 4, joten CE = CB + BE = 4 + 8 = 12.

# 3: Monimuotoinen tai muodon muotoinen muoto

Kuten voit nähdä aikaisemmista esimerkeistä, joihinkin SAT: n kolmion ongelmiin liittyy useita kolmioita (tai muita geometrisia muotoja) yhdistettynä. Tämä ongelmien esittämistekniikka on suunniteltu haastamaan ymmärryksesi linjoista ja kulmista sekä kolmioista.

Tämän tyyppisiin ongelmiin sinun on käytettävä antamiasi tietoja ja ratkaistava lisätietoja rivillä, kunnes löydät juuri tarvitsemasi. Se on pohjimmiltaan ongelmanratkaisun dominoefekti.

body_triaques4.png

Vastaus Selitys: Kysymys kertoo, että EBAEB: llä ja ∠CDB: llä on sama mitta. Koska ∠ABE ja ∠CBD ovat pystykulmia (eli ne ovat kahden vastakkaisen kulman pareja, jotka muodostavat kaksi leikkaavaa viivaa), niillä on sama mitta. Kolmio EAB on samanlainen kuin kolmio DCB, koska kolmioissa on kaksi paria yhteneviä vastaavia kulmia (kulmakulman kriteeri kolmioiden samankaltaisuudelle). Koska kolmiot ovat samankaltaisia, vastaavat sivut ovat samassa suhteessa:

$$ {CD} / {x} = {BD} / {EB} $$

Annetut arvot 800 CD: lle, 700 BD: lle ja 1400 EB: lle korvaamalla $ {CD} / {x} = {BD} / {EB} $ antaa $ {800} / {x} = {700} / { 1400} dollaria

Siksi $ x = {(800) (1400)} / {700} = 1600 $.

Lopullinen vastaus on 1600.

# 4: Muuttujat ja yhdistelmämuuttujat

Lopuksi kolmion ongelmat, joihin liittyy useita muuttujia (tai vain muuttujat) sekä tehtävässä että vastauksessa sijaitsevat yleensä jonkun SAT-matemaattisen osan kolmen viimeisen kysymyksen kohdalla. Tämä tarkoittaa, että ne ovat useimpien opiskelijoiden haastavimpia matemaattisia ongelmia.

Hyvä uutinen on, että on olemassa monia erilaisia ​​tapoja ratkaista tämän tyyppiset ongelmat ja että pieni aika, organisointi ja luovuus vievät melkein aina oikean vastauksen.

Koska tällaisiin ongelmiin liittyy useita muuttujia, on luultavasti hyvä tarkistaa strategia liittämällä numeroita jos et ole jo tehnyt niin. Tämä on loistava tekniikka käytettäväksi, jos olet epäröivä geometrian ja / tai algebran suhteen tai yksinkertaisesti, jos useat kokonaisluvut häiritsevät sinua.

Tarkastellaan tämän tyyppistä ongelman esimerkkiä ja sen ratkaisemisen eri menetelmiä.

body_SAT_triangles_20

Mikä seuraavista ilmaisee dollaria $ $ $ x $ ja $ y $?

(A) $ 2x + 3y - 180 $

(B) $ x + 2v-180 $

(C) $ 180 - x - y $

(D) 360−2x - 3y $


Kuten näette, tämä on kolmion ongelma, joka käyttää useita muuttujia ja on siten hieman monimutkainen. Tarkastellaan kaikkia vaihtoehtoja kysymyksen ratkaisemiseksi:

Ratkaisutapa 1: Liitä omat numeromme

Useimmissa tilanteissa, joissa sinulle annetaan useita muuttujia kysymyksessä tai vastausvaihtoehdoissa, käyttämäsi varma tekniikka on omien numeroidesi liittäminen. (Lisätietoja tästä strategiasta on oppaassamme liittämällä numeroita .)

Meille annetaan muuttujat $ x $ ja $ y $ ja käsketään etsimään $ z $. Joten valitsemme $ x $: lle ja $ y $: lle joitain sopivia vaikuttavia arvoja ja käytämme niitä $ z $: n etsimiseen.

Sanotaan vain, että $ x = 60 $ ja $ y = 70 $. Miksi nuo numerot? Miksi ei!

body_SAT_triangles_20.1

Koska kolmion kulmat ovat aina 180 °, löydämme puuttuvat arvot kahdesta alakolmiosta sanomalla:

$$ 180−60−70 = 50 $$

body_SAT_triangles_20.2

Tämä tarkoittaa, että löydämme myös puuttuvan kulman arvon ylimmästä kolmiosta, koska tiedämme, että myös suoran on oltava 180 °. Niin:

180 $ - 50-50 = 80 $

body_SAT_triangles_20.3

Mikä tarkoittaa, että voimme lopulta löytää z: n arvon sanomalla, että:

$$ z = 180−80−70 $$

$$ z = 30 $$

Käytä nyt samoja arvoja $ x $: lle ja $ y $: lle, joita käytimme ongelmassamme löytääksesi vastausvaihtoehdon (tai vaihtoehdot), jotka saavat meidät $ z = 30 $.

Vastausvalinta A antaa meille:

2x + 3v - 180 dollaria

Mikä, kun vaihdamme muuttujamme, on:

$$ 2 (60) +3 (70) −180 $$

120 $ + 210-180 $

150 dollaria

Etsimme vastausta vastaamaan $ z = 30 $, joten tämä on aivan liian suuri. Voimme poistaa vastauksen A.

Kokeile vastausvaihtoehtoa B:

$$ x + 2y − 180 $$

$$ 60 + 2 (70) −180 $$

60 $ + 140-180 $

20 dollaria

Tämä vastaus ei vieläkään ole yhtä suuri kuin 30, joten voimme poistaa vastauksen B.

Vastausvaihtoehto C sanoo:

180 $ - x - y $$

Mutta tiedämme jo, että tämä on 50 eikä 30, koska käytimme tätä yhtälöä etsimään kolmiojemme puuttuvat komponentit aikaisemmin (180−60−70). Voimme poistaa vaihtoehdon C.

Poistamisprosessin aikana vastauksen D valinnan on oltava oikea. Mutta tarkistakaa vielä kerran varmistaaksemme.

$ 360−2x - 3y $

$$ 360−2 (60) −3 (70) $$

$ 360−120−210 $$

$$ 30 $$

Menestys! Olemme löytäneet vastausvaihtoehdon (ja vain yhden vastausvaihtoehdon), joka vastaa löytämäämme $ z $ -vaihtoehtoa.

Viimeinen vastauksemme on D.

Ratkaisumenetelmä 2: Algebrallinen lähestymistapa

Vaihtoehtoisesti olisimme voineet löytää vastauksemme käyttämällä puhdasta algebraa ja kolmioiden ominaisuuksia sen sijaan, että täytämme omat numeromme. Voit tehdä tämän toistamalla olennaisesti prosessin, jota käytimme etsimään puuttuvia muuttujia ylhäältä, mutta pitämällä muuttujat ehjinä.

body_SAT_triangles_20

Jokainen kolmesta kolmiosta, joihin keskitymme, lisäisivät kaikki 180 astetta. Meillä on kolme erilaista kolmiota ja kolme puuttuvaa kulmaa, joten niiden yhtälöt näyttävät tältä:

180 $ - x - y $$

180 $ - x - y $$

$ 180 - y - z $$

Tiedämme, että kaikki nuo yhtälöt löytävät meidät yhdestä kolmesta merkitsemättömästä kulmasta. Tiedämme myös, että nämä kolme kulmaa muodostavat 180 °. (Miksi? Koska ne makaavat suoralla viivalla ja suora on 180 °.)

Joten kun laskemme yhtälöt yhteen ja asetamme ne 180 °: ksi, saamme:

$$ (180 - x - y) + (180 - x - y) + (180 - y - z) = 180 $$

$ 540−2x - 3y - z = 180 $$

$$ - 2x - 3y - z = −360 $$

$$ - z = −360 + 2x + 3y $$

$$ z = 360−2x - 3y $$

Joten jälleen viimeinen vastaus on D.

(Huomaa: On olemassa kolmas - ja jopa nopeampi - tapa ratkaista tämä ongelma, johon liittyy nelikulmioita. Katso oppaamme SAT-polygonit lisätietoja!)

1.jpg Vaikka SAT: lla on monia erityyppisiä kolmion ongelmia, ne yleensä erottuvat joukosta.

Kuinka ratkaista kolmion kysymys

Kolmiokysymyksiä on yhtä paljon (käsittää lähes 10% kysymyksistä) koko SAT-matemaattinen osa), koska ne vaihtelevat. Tämän vuoksi on vaikea erottaa yksi tarkka polku ongelmanratkaisukolmion kysymyksiin.

Suurimmat voimavarasi ja strategiasi kolmion ongelmien ratkaisemisessa ovat:

# 1: Käytä kaavojasi (ja ota pikavalinnat)

Kaavojen käyttäminen on ehdottomasti tärkein askel mille tahansa kolmion ongelmalle. Ja kun otetaan huomioon, että suurin osa kaavoistasi toimii olennaisesti pikakuvakkeina (miksi vaivautua ratkaisemaan Pythagoraan lauseen kanssa, kun tiedät, että 30-60-90-kolmion jalat ovat $ x, x√3, 2x $?), säästät itsellesi paljon aikaa ja energiaa, kun voit pitää kaavat käsillä ja kunnossa.

# 2: Kun työskentelet monimuotojen kanssa, jaa se pieniin vaiheisiin

Muista, että monimuotoisen kolmion ongelman käsitteleminen on kuin työskentely dominoiden kanssa. Jokainen peräkkäinen tieto tekee mahdolliseksi löytää seuraava tieto.

Älä pelkää ajatusta siitä, että sinulla ei ole tarpeeksi tietoa tai että liikaa muotoja tai viivoja on käsiteltävissä. Sinulla on aina tarpeeksi tietoja jatkaaksesi - keskity vain yhden muodon ja yhden tiedon etsimiseen kerrallaan, niin domino tulee paikoilleen.

# 3: Piirrä se ulos

Piirrä omat kaaviosi, jos sinulle ei anneta mitään. Piirrä päällä kaavioistasi ovat annetut kuvat. Kirjoita annoksesi ja kaikki mittauksesi, jotka löydät matkalla puuttuvaan muuttujaasi (tai muuttujiin), ja merkitse yhtyvät linjat ja kulmat.

Mitä enemmän voit selventää kaavioita, sitä vähemmän todennäköistä olet tekemällä huolimattomia virheitä väärässä tai hämmentävässä numerossa ja yhtäläisyydessä.

# 4: Liitä omat numerosi aina kun mahdollista

Lopuksi, anna itsellesi tauko muuttujien ja monimutkaisen algebran käsittelystä, jos tarvitset. Se voi olla aivan liian helppoa tehdä virhe, kun käsitellään vain muuttujia, joten jos sinulla on aikaa säästää, kytke omat numerosi!


body_bug_out_bag.jpg Sinulla on enemmän tietoa ja strategioita käytettävissäsi kuin luulet. Pidä ne vain käsillä ja järjestäytyneenä päähäsi ja sinut asetetaan.

Testaa tietosi

Testataan nyt kolmion tuntemustasi enemmän, SAT-matemaattisia ongelmia. HUOMAUTUS: nämä kysymykset eivät ole virallisia SAT-matematiikkaosakysymyksiä (vasta uudistetun SAT: n debyytti maaliskuussa 2016). Nämä kysymykset otettiin kollegion johtokunnan käytännön testeistä uudelle SAT: lle tai mukautettiin muista uusista SAT-käytännön kysymyksistä ja vanhoista SAT-kysymyksistä.

1.

body_triaques8.png

Huomaa: Kuvaa ei ole piirretty mittakaavassa.

Yllä olevassa kuvassa säännöllinen monikulmio, jossa on 8 sivua, on jaettu kahdeksaan yhtäläiseen tasakylkiseen kolmioon viivan segmenttien avulla, jotka on vedetty monikulmion keskiosasta sen kärkeen. Mikä on $ x $ arvo?

Vastaus Selitys: Pisteen ympärillä olevien kulmien mittausten summa on 360 °. Koska 8 kolmiota ovat yhdenmukaisia, kunkin 8 kulman mitat ovat samat. Siksi jokaisen mitta on $ {360 °} / {8} = 45 ° $. Missä tahansa kolmiossa sisäkulmien mitat ovat 180 °. Joten kussakin kolmiossa jäljellä olevien kahden kulman mittojen summa on $ 180 ° -45 ° = 135 ° $. Koska kolmiot ovat tasakylkisiä, näiden kahden kulman mitat ovat samat. Siksi näiden kulmien mitat ovat $ {135 °} / {2} = 67,5 ° $.

2.

body_triaques10.png

Huomaa: Kuvaa ei ole piirretty mittakaavassa.

Yllä olevassa kolmiossa ABC $ AB = AC $, E on $ ov {AB} $: n keskipiste ja D on $ ov {AC} $: n keskipiste. Jos $ AE = x $ ja $ ED = 4 $, mikä on $ ov {BC} $: n pituus?

(A) 6

(B) 8

(C) $ 2x $

(D) 4x $

Vastaus Selitys: Kuten aina, täytä ensin annetut tiedot.

body_example_3_tri_1.png

Vaikka se ei ehkä näytä siltä, ​​meille kerrotaan, että E on linjan AB keskipiste. Tämä tarkoittaa, että jos segmentin AE arvo on $ x $, niin myös segmentin EB arvo on $ x $. Tämä tarkoittaa myös sitä, että koko pituuden AB arvo on siis $ x + x = 2x $.

Joten asettakaamme osuus.

AE-jalka on sen pohjaan, ED, samoin kuin jalka AB on sen pohjaan, BC. Niin:

$$ {AE} / {ED}: {AB} / {BC} $$

$$ {x} / {4}: {2x} / {BC} $$

$$ 8x = BCx $$

$$ 8 = BC $$

Viimeinen vastauksemme on B, BC = 8.

3.

body_triaques9.png

Huomaa: Kuvaa ei ole piirretty mittakaavassa.

Kaksi tasakylkistä kolmiota on esitetty yllä. Jos $ 180 − x = 3y $ ja $ y = 20 $, mikä on z: n arvo?

Vastaus Selitys: Koska kysymys kertoo sinulle, että $ 180 − x = 3y $ ja $ y = 20 $, niin $ 180 − x = 3y = 60 $, ja sen ratkaiseminen antaa sinulle $ x = 120 $. Jos $ x = 120 $, niin oikeanpuoleisen tasakylkisen kolmion peruskulman on oltava 30 ° ($ {180−120} / {2} $). Siksi $ z ° $ -merkitty kulma on $ 180 ° -30 ° = 150 ° $, joten z: n arvo on 150. Vastaus on 150.

helsinki-1.jpg

Luulemme, että olet ansainnut tauon, eikö vain?

Take-Aways

Kolmiot näkyvät ilman epäonnistumista ainakin muutaman kerran jokaisessa yksittäisessä SAT: ssa (yleensä noin 1–3 ongelmassa). Hyvä uutinen on, että sinulle annetaan useita kaavoja, jotka auttavat sinua vastaamaan tämäntyyppisiin kysymyksiin, mutta haittana on, että testi on ajoitettu, joten sinun pitäisi tuhlata aikaa kaavalaatikkoon siirtymiseen vain, jos sinulla ei ole vaihtoehtoja.

Tunne määritelmät, yritä muistaa kaavasi ja tee parhaansa pitääkseen selkeä pää kun suoritat testisi. Ja kuten aina, harjoittele, harjoittele, harjoittele! Mitä enemmän kokemusta saat ratkaistessasi erilaisia ​​kolmiokysymyksiä, joita SAT voi ajatella asettavan edestäsi, sitä paremmin voit tappaa nämä kolmio-ongelmat.

Mielenkiintoisia Artikkeleita

San Franciscon yliopiston pääsyvaatimukset

Mitä sinun on tiedettävä Gateway to Collegeista Laney Collegessa

Löydä osavaltioiden sijoitukset, SAT/ACT -tulokset, AP -tunnit, opettajan verkkosivustot, urheiluryhmät ja paljon muuta Gateway To Collegeista Laney Collegessa Oaklandissa, Kaliforniassa.

Utahin yliopiston pääsyvaatimukset

Mitä sinun on tiedettävä Great Oak High Schoolista

Löydä osavaltioiden sijoitukset, SAT/ACT -tulokset, AP -tunnit, opettajien verkkosivustot, urheiluryhmät ja paljon muuta Great Oak High Schoolista Temecula, CA.

Pitäisikö minun mennä johonkin isosta 10 koulusta?

Oletko utelias osallistumaan johonkin Big Ten -koulusta? Tämä Big 10 -koulujen luettelo selittää Big Ten -yliopistojen hyvät ja huonot puolet ja auttaa sinua päättämään, mikä niistä sopii sinulle.

RN vs BSN vs LPN: Mikä ohjelma sopii sinulle?

Eri hoitotodistukset ja tutkinnot voivat olla hämmentäviä - tutustu oppaasemme LPN vs RN vs BSN.

Mitä tarvitset Stony Brookille: SAT -tulokset ja GPA

Lehighin yliopiston SAT -tulokset ja GPA

Asiantuntija -arvio: Virallinen ACT -valmisteluopas

Etkö ole varma, ostatko uuden ACT Prep Guide -oppaan? Selitämme punaisen kirjan uuden version hyvät ja huonot puolet ja sen vertailun aiempiin painoksiin.

SUNY New Paltz Pääsyvaatimukset

Keski -valtionyliopiston pääsyvaatimukset

Sekin täyttäminen, vaihe vaiheelta

Mietitkö, miten voit kirjoittaa sekin? Opastamme prosessin vaihe vaiheelta, mukaan lukien tarvitsemasi tiedot ja kuinka kirjoittaa summa.

Mitä sinun on tiedettävä Redondo Union High Schoolista

Löydä osavaltion rankingit, SAT/ACT -tulokset, AP -tunnit, opettajan verkkosivustot, urheiluryhmät ja paljon muuta Redondo Union High Schoolista Redondo Beachissa, Kaliforniassa.

Felician Collegen pääsyvaatimukset

Albertus Magnus Collegen pääsyvaatimukset

Cleveland Institute of Artin pääsyvaatimukset

Rose-Hulmanin teknillisen instituutin ACT-tulokset ja GPA

Viivat ja kulmat SAT-matematiikassa: Valmistelu ja tarkistus

Opi kaikki yhdensuuntaisista / kohtisuorista viivoista ja vastakkaisista / lisäkulmista tälle yleiselle kysymystyypille. Käytä SAT-matematiikkastrategioita käytännössä parantaaksesi pisteitäsi.

Täydellinen luettelo: Korkeakoulut Massachusettsissa + sijoitukset/tilastot (2016)

Hakeudutko yliopistoihin Massachusettsissa? Meillä on täydellinen luettelo Massachusettsin parhaista kouluista, joiden avulla voit päättää, minne mennä.

Paul Smithin yliopiston pääsyvaatimukset

Luoteis -osavaltion Louisianan yliopiston pääsyvaatimukset

Columbuksen taidekorkeakoulun pääsyvaatimukset

Landerin yliopiston pääsyvaatimukset

5 Tärkeimmät erot ISEE: n ja SSAT: n välillä

Mietitkö, ottaako ISEE vai SSAT? Selitämme ISEE: n ja SSAT: n erot ja kuinka päättää, mitä sinun pitäisi tehdä.

Massachusettsin yliopisto Lowellin SAT -tulokset ja GPA