Kiinteä geometria ACT -matematiikassa: Täydellinen opas

feature_pretty_cube_resize.pngGeometria on matematiikan haara, joka käsittelee pisteitä, viivoja, muotoja ja kulmia. ACT -geometrian kysymykset testaavat tietosi eri muotojen muodoista, kooista ja tilavuuksista sekä niiden sijainnista avaruudessa. 33% ACT -matemaattisista tehtävistä (yhteensä noin 18 kysymystä) liittyy geometriaan , riippuen testistä.

Koska geometria kokonaisuudessaan kattaa niin monia erilaisia ​​matemaattisia käsitteitä, geometrialla on useita eri alajaksoja (mukaan lukien tasomainen, kiinteä ja koordinaatti). Katamme jokaisen geometrian haaran erillisissä oppaissa, joissa on vaiheittainen lähestymistapa kysymyksiin ja näyteongelmiin.

Tämä artikkeli on kattava opas ACT: n kiinteään geometriaan . Käymme läpi kiinteän geometrian merkityksen, kaavat ja ymmärrykset, jotka sinun on tiedettävä, ja kuinka käsitellä joitain vaikeimpia kiinteän geometrian kysymyksiä ACT -matematiikkaosassa.

Ennen kuin jatkat, muista se yleensä jokaisessa ACT: ssä on vain 1-2 kiinteää geometriakysymystä, joten sinun pitäisi priorisoida tasomaisen (litteän) geometrian opiskelu ja koordinoida geometria ensin. Säästä tämän oppaan opettaminen viimeiseksi ACT -geometrian matematiikan valmistelun kannalta.

body_geometry_stairs.jpg Ennen kuin laskeudut kiinteän geometrian valtakuntaan, varmista, että olet hyvin perehtynyt tasogeometriaan ja koordinaattigeometriaan!

Mikä on kiinteä geometria?

Kiinteä geometria on kolmiulotteisen geometrian nimi. Toinen ulottuvuus-tilavuus-lisätään tasomaiseen (tasaiseen) geometriaan, jossa käytetään vain korkeutta ja pituutta.

Litteiden muotojen, kuten ympyröiden, neliöiden ja kolmioiden sijaan, kiinteä geometria käsittelee palloja, kuutioita ja pyramideja (muiden kolmiulotteisten muotojen ohella). Sen sijaan, että kehää ja aluetta käytettäisiin tasaisten muotojen mittaamiseen, kiinteä geometria käyttää pinta-alaa ja tilavuutta kolmiulotteisten muotojensa mittaamiseen.

Body_circle.png

Ympyrä on litteä esine. Tämä on tasogeometriaa.

Body_sphere.png

hyviä kysymyksiä 20 kysymykseen

Pallo on kolmiulotteinen objekti. Tämä on vankka geometria.

ACT: ssä useimmat kiinteät geometriaongelmat sijaitsevat matemaattisen osan lopussa. Tämä tarkoittaa kiinteitä geometriaongelmia pidetään yhtenä haastavimmista kysymyksistä ACT -matematiikassa (tai sellaiset, jotka vievät pisimmän ajan, koska ne on usein täytettävä useissa kappaleissa). Käytä tätä tietämystä ohjataksesi opiskelupaineesi tuottavimmille tavoille.

Jos saat useita kysymyksiä väärin matematiikkaosion 40 ensimmäisen kysymyksen joukossa, saatat olla tuottavampaa käyttää aikaa ensin virkistääksesi yleistä ymmärrystäsi ACT: n kattamista matemaattisista käsitteistä. Voit myös haluta tarkastella kaikkia tarvitsemiasi ACT -matemaattisia kaavoja.

Huomaa: jotkut näistä kaavoista annetaan sinulle testissä itse kysymyksessä, mutta tämä on usein epäjohdonmukaista. Esimerkiksi joillakin ACT: illa annetaan sylinterin tilavuuden kaava, toisinaan ei. Jos et ole varma, mitkä kaavat annetaan tai joita ei anneta matematiikkaosassa, päivitä kaavatietosi. Body_map.jpg Tyypillinen ongelma, jossa sinulle annetaan kysymyksen kaava.

Vaikka monet kaavoista on annettu, on silti tärkeää ymmärtää, miten ne toimivat ja miksi . Kaavat, jotka on merkitty välttämättömäksi tietää, kannattaa muistaa, mutta kaikki muut annetaan. Joten älä huolehdi liikaa niiden muistamisesta, mutta tehdä kiinnitä niihin huomiota syventääksesi ymmärrystäsi ACT: n kiinteän geometrian periaatteista.

Tässä oppaassa olen jakanut lähestymistavan ACT -kiinteään geometriaan kolmeen luokkaan:

#1: Tyypillisiä ACT -kiinteän geometrian kysymyksiä

#2: Geometristen kiintoaineiden tyypit ja niiden kaavat

#3: Kuinka ratkaista ACT -kiinteän geometrian ongelma

Body_question_3.png Kiinteä geometrinen seikkailu täällä!


Tyypillisiä kiinteän geometrian kysymyksiä ACT: stä

Ennen kuin käymme läpi kaavoja, jotka sinun on käsiteltävä kiinteää geometriaa varten, on tärkeää tutustua erilaisiin kysymyksiin, joita ACT kysyy kiintoaineista. ACT -kiinteän geometrian kysymykset näkyvät kahdessa muodossa: kysymykset, joissa sinulle annetaan kaavio, ja tekstitehtäväkysymykset.

Muodosta riippumatta jokainen ACT -kiinteän geometrian kysymys on olemassa, jotta voit testata ymmärrystäsi kuvan tilavuudesta ja/tai pinta -alasta. Sinulta kysytään, miten löydät kuvan tilavuuden tai pinta -alan, tai sinua pyydetään tunnistamaan, kuinka muodon mitat muuttuvat ja muuttuvat.

Kaavion ongelmat

Kiinteä geometriakaavio -ongelma antaa sinulle piirustuksen geometrisesta kiinteästä aineesta ja pyytää sinua löytämään puuttuvan elementin kuvasta. Joskus he pyytävät sinua löytämään kuvan tilavuuden, kuvan pinta -alan tai kahden pisteen välisen etäisyyden. He voivat myös pyytää sinua vertaamaan useiden eri lukujen tilavuuksia, pinta -aloja tai etäisyyksiä.

Sanan ongelmat

Kiinteän geometrian tekstitehtävät yleensä pyytävät sinua vertaamaan kahden muodon pinta -aloja tai tilavuuksia. Ne antavat sinulle usein yhden kiintoaineen mitat ja sitten vertaavat sen tilavuutta tai pinta -alaa eri kokoisiin kiinteisiin aineisiin.

Body_lego.jpg

Muut tekstitehtävät saattavat pyytää sinua sisältämään yhden muodon toiseen. Tämä on vain yksi tapa saada sinut ajattelemaan muodon tilavuutta ja tapoja mitata se.

Mikä on kuution pienin mahdollinen tilavuus kuutiotuumina, johon voisi piirtää pallon, jonka säde on 3 tuumaa?

A) $ 12√3 $ (noin $ 20.78 $)

B) $ 24√3 $ (noin $ 41,57 $)

C) $ 36√3 $ (noin $ 62,35 $)

D) 216 dollaria

JA)1728 dollaria

Tämä on tyypillinen tekstiä sisältävä teksti. Käymme läpi kuinka ratkaista se myöhemmin oppaassa.

Kiinteät geometrian tekstitehtävät voivat olla hämmentäviä monille, koska kysymyksen visualisoiminen ilman kuvaa voi olla vaikeaa.

Kuten aina muotoiluja tai kulmia kuvaavissa tekstitehtävissä, tee piirustus itse! Pelkkä kysymyksen kuvaamisen näkeminen voi tehdä ihmeitä selventämään kysymystä.

Yleensä ottaen

Jokainen ACT: n kiinteä geometriakysymys koskee joko kuvion tilavuutta tai pinta -alaa tai kahden pisteen välistä etäisyyttä. Joskus sinun on yhdistettävä pinta -ala ja tilavuus, joskus sinun on verrattava kahta kiinteää ainetta keskenään. Mutta lopulta kaikki kiinteät geometriakysymykset johtuvat näistä käsitteistä.

Joten nyt käydään läpi ACT -matematiikkavihjeemme kuinka löytää tilavuudet, pinta -alat ja etäisyydet kaikista eri geometrisista kiintoaineista.

solid_penta.gif

Täydellinen esimerkki geometrisista kiintoaineista luonnossa

Prismat

Prisma on kolmiulotteinen muoto, jossa on (vähintään) kaksi yhtenevää, yhdensuuntaista emästä. Pohjimmiltaan voit noutaa prisman ja kantaa sitä vastakkaisilla sivuilla, jotka ovat litteät kämmentäsi vasten.

Muutamia monenlaisia ​​prismoja.

Suorakulmaiset kiinteät aineet

Suorakulmainen kiinteä aine on lähinnä laatikko. Siinä on kolme paria vastakkaisia ​​sivuja, jotka ovat yhteneviä ja yhdensuuntaisia.

Screen_Shot_2015-06-03_at_3.47.48_PM-1.png

Äänenvoimakkuus

Tarvittava tietää

$ Volume = lwh $

Kuvion tilavuus on sen sisätilan mitta.

  • $ l $ on kuvan pituus
  • $ w $ on kuvan leveys
  • $ h $ on kuvan korkeus

Huomaa, kuinka tämä kaava on sama kuin neliön alueen ($ A = lw $) löytäminen lisättyä korkeusulottuvuutta käyttäen, koska tämä on kolmiulotteinen kuva.

Body_fish_tank.jpg

Tunnista ensin kysymyksen tyyppi-kysytäänkö tilavuutta tai pinta-alaa? Kysymys koskee kiinteän aineen sisätilaa, joten se on tilavuuskysymys.

Nyt meidän on löydettävä suorakulmainen tilavuus, mutta tämä kysymys on hieman hankala. Huomaa, että olemme selvittämässä, kuinka paljon vettä on tietyssä akvaariossa, mutta vettä on ei täytä koko säiliö. Jos keskitymme vain veteen, huomaat, että sen tilavuus on:

$ V = lwh $ => $ (4) (3) (1) = 12 kuutiometriä jalkaa $

(Miksi kerroimme jalat ja leveyden yhdellä 2: n sijasta? Koska vettä tulee vain 1 jalka, se ei täytä säiliön koko 2 jalkaa.)

Nyt aiomme laittaa sen 12 kuutiometriä vettä toiseen säiliöön. Tämän toisen säiliön kokonaistilavuus on:

$ V = lwh $ => $ (3) (2) (4) = 24 kuutiometriä jalkaa $

Vaikka toiseen säiliöön mahtuu 24 kuutiometriä vettä, laitamme vain 12. Joten $ 12/24 = 1/2 $.

Vesi nousee täsmälleen puoleen toisen säiliön korkeudesta, mikä tarkoittaa vastaus on D. , 2 jalkaa.

Body_dice.png Joka tapauksessa nämä kalat eivät ole kovin tyytyväisiä puoli säiliötä vettä

Pinta-ala

Tarvittava tietää

$ Pinta alue = 2lw + 2lh + 2wh $

Jos haluat löytää suorakulmaisen prisman pinta -alan, löydät alueet kaikille tasaisille suorakulmioille kuvan pinnalla (kasvot) ja lisäät sitten nämä alueet yhteen.

Suorakulmaisessa kiinteässä kuvassa on kuusi kasvoa. Ne on jaettu kolmeen vastakkaiseen sivuun.

Body_pythag_1.png

Jos pinnan kuvaaminen on vaikeaa, muista, että muotilla on kuusi puolta.

Löydät siis pituuden, leveyden ja korkeuden ($ lw $, $ lh $ ja $ wh $) kolmen yhdistelmän alueet, jotka sitten kerrotaan kahdella, koska kullakin näistä yhdistelmistä on kaksi puolta. Tuloksena olevat alueet lasketaan sitten yhteen, jotta saadaan pinta -ala.

Diagonaalinen pituus

Tarvittava tietää

(Huomaa: sinun on tiedettävä, miten voit löytää diagonaalin, mutta et sinä älä täytyy muistaa kaava. Jatka lukemista saadaksesi lisätietoja tästä.)

$ Diagonaali = √ [l^2 + w^2 + h^2] $

Suorakulmaisen kiintoaineen lävistäjä on kiintoaineen pisin sisäviiva. Se koskettaa prisman toisen puolen kulmasta vastakkaiseen kulmaan toisella.

Body_pythag_2.png

Löydät tämän lävistäjän joko käyttämällä yllä olevaa kaavaa tai jakamalla luku kahteen tasaiseen kolmioon ja käyttämällä molempien Pythagoraan lauseita. Voit aina tehdä tämän, jos et halua muistaa kaavaa tai jos pelkäät muistavan kaavan väärin testipäivänä.

Etsi ensin kiintoaineen pohjan lävistäjän (hypotenuusan) pituus Pythagoraan lauseen avulla.

body_pythag_3.png

$ c^2 = l^2 + w^2 $

Käytä seuraavaksi tätä pituutta yhtenä uuden kolmion pienimmistä sivuista ja suorakulmaisen kiintoaineen diagonaalia uutena hypotenuusana.

body_cube.png

$ d^2 = c^2 + h^2 $

Ja ratkaise diagonaali Pythagoraan lauseen avulla uudelleen.

Kuutiot

Kuutiot ovat erityinen suorakulmainen kiinteä aine, aivan kuten neliöt ovat erityisiä suorakulmioita.

Kuution korkeus, pituus ja leveys ovat yhtä suuret. Kuution pinnan kuusi kasvot ovat myös yhdenmukaisia.

Kuvakaappaus_2015-06-03_15.27.13.png

Äänenvoimakkuus

Tarvittava tietää

kuinka toimittaa pisteet oppilaitoksille

$ Volume = s^3 $

  • $ s $ on kuution sivun pituus (mikä tahansa kuution sivu, koska ne ovat kaikki samat).

Tämä on sama asia kuin suorakulmaisen kiinteän aineen tilavuuden löytäminen ($ v = lwh $), mutta koska niiden sivut ovat kaikki yhtä suuret, voit yksinkertaistaa sitä sanomalla $ s^3 $.

Body_question_2.png Selvitä ensin, mitä kysymys pyytää sinua tekemään. Yrität sovittaa pienempiä suorakulmioita suurempiin suorakulmioihin, joten käsittelet tilavuutta, ei pinta -alaa. Etsi suuremman suorakulmion (tässä tapauksessa kuution) tilavuus.

Joten voit käyttää kuution tilavuuden kaavaa:

$ Volume = s^3 $ => $ 6^3 = 216 $

Tai voit etsiä kaavan avulla minkä tahansa suorakulmaisen kiinteän aineen tilavuuden:

$ Volume = lwh $ => $ (6) (6) (6) = 216 $

Etsi nyt yhden pienemmän suorakulmaisen kiintoaineen tilavuus:

$ Volume = lwh $ => $ (3) (2) (1) = 6 $

Jaa suurempi suorakulmainen kiinteä aine pienemmällä saadaksesi selville, kuinka monta pienemmästä suorakulmaisesta kiintoaineesta mahtuu suuremman sisälle:

216/6 = 36 dollaria

Lopullinen vastauksesi on siis D. , 36

Pinta-ala

Tarvittava tietää

$ Pinta alue = 6 s^2 $

Tämä on sama kaava kuin suorakulmaisen kiinteän aineen pinta -ala ($ SA = 2lw + 2lh + 2hw $). Koska kuution kaikki sivut ovat samat, näet kuinka $ 6s^2 $ on johdettu:

$ 2lw + 2lh + 2hw $ => $ 2ss + 2ss + 2ss $ => $ 2s^2 + 2s^2 + 2s^2 $ => $ 6s^2 $

body_cylinder-2.png

Voit lähestyä tätä kysymystä kahdella tavalla: käyttämällä kaavaa tai tekemällä sitä pitkällä aikavälillä.

Jos käytät kuution pinta -alan kaavaa, voit sanoa:

$ Pinta alue = (6) (3^2) $

$ SA = (6) (9) = 54 $

Jos unohdat kaavan (tai pelkäät sotkea sitä testipäivänä), voit aina tehdä sen pitkällä aikavälillä:

$ Pinta alue = ss + ss + ss + ss + ss + ss $

tai $ SA = (ss) (6) $

(Muista, että kuutiossa on kuusi kasvoa, kuten kuusi kasvoa kuopassa)

$ SA = (3) (3) + (3) (3) + (3) (3) + (3) (3) + (3) (3) + (3) (3) $

tai $ SA = (3) (3) (6) $

$ SA = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 9 (6) = 54 $

Joka tapauksessa saat vastauksen K. , 54


Diagonaalinen pituus

Tarvittava tietää

(Huomaa: sinun on tiedettävä, miten voit löytää diagonaalin, mutta sinun ei tarvitse muistaa kaavaa. Jatka lukemista saadaksesi lisätietoja tästä.)

$ Diagonaali = s√3 $

Aivan kuten suorakulmaisen kiinteän aineen kohdalla, voit jakaa kuution kahteen tasaiseen kolmioon ja käyttää molempien Pythagoraan teoriaa vaihtoehtona kaavalle.

Tämä on täsmälleen sama prosessi kuin suorakulmaisen kiinteän aineen diagonaalin löytäminen.

Etsi ensin kiintoaineen pohjan lävistäjän (hypotenuusan) pituus Pythagoraan lauseen avulla.

Käytä seuraavaksi tätä pituutta yhtenä uuden kolmion pienimmistä sivuista ja suorakulmaisen kiintoaineen diagonaalia uutena hypotenuusana.

Ratkaise diagonaali Pythagoraan lauseen avulla uudelleen.

Sylinterit

Sylinteri on prisma, jonka vastakkaisilla puolilla on kaksi pyöreää pohjaa

Body_question_1.png

Äänenvoimakkuus

Tarvittava tietää

$ Volume = πr^2h $

  • $ π $ on universaali vakio, jota edustetaan myös nimellä 3,14 (159)
  • $ r $ on pyöreän pohjan säde. Se on mikä tahansa suora, joka on piirretty ympyrän keskeltä ympyrän kehälle.
  • $ h $ on ympyrän korkeus. Se on suora viiva, joka yhdistää kaksi pyöreää pohjaa.

body_cone.png

Tämä ongelma antaa sinulle sylinterin kaavan, mutta ACT on usein epäjohdonmukainen tästä. Huomaa, että tämä on ongelma #29 (helppo ja keskitason kysymys), joten sinulle annetaan kaava. Jos tämä olisi ollut kysymys #49, olet todennäköisesti ei on annettu kaava.

Mutta koska sinulle on annettu kaava, arvot on helppo liittää siihen. Kiinnitä kuitenkin huomiota siihen, mitä kysymys pyytää sinua tekemään. Aivan kuten yllä olevassa kalasäiliökysymyksessä, sinua ei pyydetä täyttämään koko säiliötä vain vedellä jonkin verran siitä.

Joten jos $ volume = πr^2h $, niin $ V = π (12^2) (5) $

(Säde on 12, koska säde on puolet halkaisijasta ja koko halkaisija on 24. Korkeus on 5, koska kysymys kertoo meille, että täytämme säiliön vain 5 jalkaan).

$ V = 720π = 2261,9448 $

Niin vastaus on C. , 2262

Pinta-ala

$ Pinta alue = 2πr^2 +2πrh $

Löytääksesi sylinterin pinta -alan lisäät kahden pyöreän pohjan tilavuuden ($ 2πr^2 $) sekä putken pinnan ikään kuin se olisi avattu ($ 2πrh $).

Putken pinta voidaan myös kirjoittaa muodossa $ SA = πdh $, koska halkaisija on kaksi kertaa säde. Toisin sanoen putken pinta on kaava ympyrän ympärysmitalle, jolla on lisäkorkeus.


Ei-prisman kiintoaineet

Ei-prisman kiintoaineet ovat kolmiulotteisia muotoja, joilla ei ole yhdensuuntaisia, yhteneviä sivuja. Jos otit nämä muodot kädelläsi, enintään yksi sivu (jos sellainen on) olisi kämmenessäsi.

Käpyjä

Kartio on samanlainen kuin sylinteri, mutta siinä on vain yksi pyöreä pohja kahden sijasta. Sen vastapää päättyy pisteeseen eikä ympyrään.

body_pyramid.png

Kartioita on kahdenlaisia-oikeat ja viistot. ACT: n kannalta sinun on huolehdittava vain oikeista kartioista. Viistot kartiot eivät koskaan näy ACT: ssä.

Oikealla kartiolla on kärki (päätepiste päällä), joka sijaitsee suoraan kartion pyöreän pohjan keskellä.

Kun korkeus ($ h $) pudotetaan kärjestä ympyrän keskelle, se muodostaa suoran kulman pyöreän pohjan kanssa.

Äänenvoimakkuus

$ Volume = 1/3πr^2h $

  • $ π $ on vakio, kirjoitettuna muodossa 3,14 (159)
  • $ r $ on pyöreän pohjan säde
  • $ h $ on korkeus, joka on piirretty suorassa kulmassa kartion kärjestä pyöreän pohjan keskelle

Kartion tilavuus on 1/3 $ sylinterin tilavuus. Tämä on järkevää loogisesti, koska kartio on pohjimmiltaan sylinteri, jonka yksi pohja romahtaa pisteeksi. Kartion tilavuus on siis pienempi kuin sylinterin.

Pinta-ala

miljoonaa miljardia biljoonaa mitä seuraavaksi

$ Pinta alue = πr^2 + pirl $

  • $ l $ on kartion sivun pituus, joka ulottuu kärjestä pyöreän pohjan kehälle

Pinta -ala on pyöreän pohjan ($ πr^2 $) ja sivupinnan ($ πrl $) yhdistelmä

Koska oikeat kartiot muodostavat suorakulmion, jonka sivupituudet ovat: $ h $, $ l $ ja $ r $, voit usein käyttää Pythagoraan teoriaa ongelmien ratkaisemiseen.

Pyramidit

Pyramidit ovat geometrisia kiinteitä aineita, jotka ovat samanlaisia ​​kuin kartiot, paitsi että niissä on monikulmio pohjaan ja tasaiset kolmion sivut, jotka kohtaavat huipussa.

Body_inscribed_solids_2.png

Pyramideja on monenlaisia, ja ne määritellään niiden pohjan muodon ja kärjen kulman mukaan, mutta ACT: n vuoksi sinun on huolehdittava vain oikeista, neliömäisistä pyramideista.

Oikealla, neliömäisellä pyramidilla on neliöpohja (molemmilla puolilla sama pituus) ja kärki suoraan pohjan keskipisteen yläpuolella. Korkeus ($ h $), joka on vedetty kärjestä jalustan keskelle, muodostaa suoran kulman alustan kanssa.

Äänenvoimakkuus

$ Volume = 1/3 area of the base * h $

Jos haluat löytää neliön pyramidin tilavuuden, voit myös sanoa $ 1/3lwh $ tai $ 1/3s^2h $, koska pohja on neliö, joten kunkin sivun pituus on sama.

Pallot

Pallo on lähinnä 3D -ympyrä. Ympyrässä kaikki suorat, jotka on vedetty keskeltä mihin tahansa ympärysmitan pisteeseen, ovat kaikki yhtä kaukana. Tämä etäisyys on säde ($ r $). Pallossa tämä säde voi ulottua kolmessa ulottuvuudessa, joten kaikki viivat pallon pinnasta pallon keskipisteeseen ovat yhtä kaukana.

Äänenvoimakkuus

$ Volume = 4/3πr^3 $


Kirjatut kiinteät aineet

Yleisimmät kaiverretut kiintoaineet ACT -matematiikkaosassa ovat 'kuutio pallon sisällä' ja 'pallo kuution sisällä'. Voit saada toisen muodon kokonaan, mutta kirjoitettujen muotojen käsittelyn perusperiaatteet ovat edelleen voimassa. Kysymys on useimmiten testi siitä, oletko sinätuntea kiinteät geometrian periaatteet ja kaavat jokaiselle muodolle yksilöllisesti riittävän hyvin voidakseen koota ne yhteen.

Kuvakaappaus_2015-06-03_15.40.02.png

Kun käsittelet kaiverrettuja muotoja, vedä niiden antamaan kaavioon. Jos he ei anna kaavio, tee oma! Piirtämällä omia viivojasi pystyt paremmin kääntämään kolmiulotteiset objektit kaksiulotteisten objektien sarjaksi, mikä johtaa useimmiten ratkaisuun.

Ymmärrä, että kun sinulle annetaan kiinteää ainetta toisen kiinteän aineen sisällä, se on syystä. Se voi näyttää sinusta hämmentävältä, mutta ACT näyttää aina antaa tarpeeksi tietoa ongelman ratkaisemiseksi.

Esimerkiksi samalla viivalla on eri merkitys kullekin muodolle, ja tämä on usein avain ongelman ratkaisemiseen.


body_sphere_in_cube_2.png
Joten meillä on kaiverrettu kiinteä eikä piirustusta. Joten tee ensin piirustus!

body_cube_in_sphere_2.png

Koska meillä on pallo kuution sisällä, näet, että pallon säde on aina puolet kuution minkä tahansa sivun pituudesta (koska kuutiolla on määritelmän mukaan kaikki tasavertaiset sivut). $ 2r $ on siis kuution kaikkien sivujen pituus. Liitä nyt $ 2r $ kaavaasi kuution tilavuuden löytämiseksi.

Voit joko käyttää kuution tilavuuskaavaa:

$ V = s ^ 3 $ => $ (2r) ^ 3 = 8r ^ 3 $

Tai voit etsiä kaavan avulla minkä tahansa suorakulmaisen kiinteän aineen tilavuuden:

$ V = lwh $ => $ (2v) (2v) (2v) = 8v ^ 3 $

Joka tapauksessa, saat vastaus E, $ 8r^3 $

Huomaa, kuinka vastaus B on $ 2r^3 $. Tämä on temppu vastaus, jonka tarkoituksena on vangita sinut. Jos et käyttänyt sulkeita oikein kuutiokaavan tilavuudessa, olisit saanut $ 2r^3 $. Mutta jos ymmärrät sen kummankin sivun pituus on $ 2r $, ja niin edelleen koko pituus on kuutioitava , saat oikean vastauksen $ 8r^3 $.

Suurimmassa osassa kirjoitettuja kiintoaineita koskevia kysymyksiä ympyrän säde (tai halkaisija) on avain kysymyksen ratkaisemiseen. Pallon säde on puolet kuution sivun pituudesta, jos kuutio on pallon sisällä (kuten yllä olevassa kysymyksessä). Tämä tarkoittaa, että pallon halkaisija on yhtä suuri kuin kuution toinen puoli, koska halkaisija on kaksi kertaa säde.

Mutta mitä tapahtuu, kun sinulla on pallo kuution sisällä? Tässä tapauksessa pallon halkaisijaksi tulee itse asiassa lävistäjä kuutiosta.

Mikä on kuution suurin mahdollinen tilavuus kuutiotuumaa, joka voitaisiin kirjoittaa pallon sisään, jonka säde on 3 tuumaa?

A) $ 12√3 $ (noin $ 20.78 $)

B) $ 24√3 $ (noin $ 41,57 $)

C) $ 36√3 $ (noin $ 62,35 $)

D) 216 dollaria

JA)1728 dollaria

Piirrä ensin hahmosi.

Runko-hämmentävä-3.jpgVoit nähdä, että toisin kuin silloin, kun pallo oli kirjoitettu kuutioon, kuution sivu on ei kaksi kertaa ympyrän säde, koska kuution sivujen ja pallon kehän välillä on aukkoja. Kuution ainoa suora viiva, joka koskettaa pallon kahta vastakkaista puolta, on kuution lävistäjä.

Joten tarvitsemme kaavan kuution diagonaalille:

$ puoli√3 = lävistäjä $

$ s√3 = 6 dollaria

(Miksi lävistäjä on 6? Koska pallon säde on 3, joten $ (3) (2) = 6 $)

$ 3s^2 = 36 $

$ s^2 = 12 $

$ s = √12 $

$ (√12) ^ 3 = 12√12 = 24√3 $

Vastaus on B), $ 24√3 $

body_gold_medal.jpg

Vaikka vankka geometria voi aluksi vaikuttaa hämmentävältä, harjoittelu ja yksityiskohtiin keskittyminen saavat sinut oikealle vastaukselle

mikä merkki on neitsyt parhaiten yhteensopiva

Take-Aways

ACT: n kiinteät geometriakysymykset kysyvät aina tilavuudesta, pinta -alasta tai kuvan pisteiden välisestä etäisyydestä. He tekevät siitä hankalan, kun he vertaavat eri lukujen elementtejä tai ottavat useita vaiheita ongelmaa kohden.

Mutta voit aina jakaa minkä tahansa ACT -kysymyksen pienempiin osiin.

ACT Matematiikkastrategia: Vaiheet kiinteän geometrian ongelman ratkaisemiseksi

#1: Selvitä, mitä ongelma pyytää sinua löytämään.

Onko ongelma kysymys kuutioista tai palloista? Molemmat? Pyydetäänkö sinua löytämään kuvan tilavuus tai pinta -ala? Molemmat?

Varmista, että ymmärrät mitä kaavoja tarvitset ja mitä geometrisen kiinteän aineen elementtejä käsittelet.

#2: Piirrä se

Piirrä kuva milloin tahansa, kun he kuvaavat kiinteää ainetta tarjoamatta sinulle kuvaa. Näin on usein helpompi nähdä tarkasti, mitä tietoja sinulla on ja miten voit käyttää näitä tietoja löytääksesi kysymyksen.

#3: Käytä kaavoja

Kun olet tunnistanut tarvitsemasi kaavat, on usein yksinkertaista liittää antamasi tiedot.

Jos et muista kaavojasi (kuten esimerkiksi diagonaalin kaava), käytä vaihtoehtoisia menetelmiä vastauksen saamiseksi, kuten Pythagorean lause.

#4: Pidä tietosi selkeinä ja tarkista työsi

Oletko varma, että merkitset työsi? Testin tekijät tietävät, että opiskelijoiden on helppo olla huolimaton korkeassa stressitilanteessa ja he antavat 'syötin' vastauksia vastaavasti. Varmista siis, että merkitset sylinterin tilavuuden ja kuution tilavuuden vastaavasti.

Älä unohda tarkistaa vastaustasi, jos sinulla on aikaa! Onko järkevää sanoa, että laatikko, jonka korkeus on 20 jalkaa, mahtuu laatikkoon, jonka tilavuus on 15 kuutiometriä? Ehdottomasti ei! Varmista, että kaikki vastauksesi osat ja työsi ovat oikeassa paikassa ennen kuin lopetat.

Hanki 4 enemmän pisteitä ACT: stasi, TAKUU

Noudata vaiheita ratkaistaksesi kiinteät geometriaongelmasi ja saat kullan

Kiinteä geometria ei useinkaan ole niin monimutkainen kuin miltä se näyttää; se on yksinkertaisesti tasainen geometria, joka on otettu kolmanteen ulottuvuuteen. Jos ymmärrät, miten kukin näistä muodoista muuttuu ja liittyvät toisiinsa, voit käsitellä tätä ACT: n osaa helpommin kuin koskaan ennen.

Mitä seuraavaksi?

Nyt kun olet tehnyt vauhtisi vankalla geometrialla, saattaa olla hyvä idea tarkistaa kaikki ACT: ssä testatut matematiikan aiheet varmistaaksesi, että olet naulattu tiukasti.

Haluatko täydellisen pistemäärän? Lue artikkeli artikkelista How to 36 on the ACT Math by 36 ACT-Scorer.

Etkö tiedä mistä aloittaa? Älä etsi enää artikkeleitamme mitä pidetään hyvänä, huonona tai erinomaisena ACT -pisteenä

Ja jos huomaat, että aika loppuu matematiikan osiosta, katso vain artikkeleitamme siitä, miten voit lopettaa ajan loppumisen ACT -matematiikassa.

Haluatko parantaa ACT -pisteitäsi 4 pisteellä?

Tutustu luokan parhaaseen online-ACT-valmisteluohjelmaan. Takaamme rahasi takaisin jos et paranna ACT -pisteitäsi 4 tai enemmän.

Ohjelmamme on täysin online -tilassa, ja se mukauttaa opiskelemasi vahvuuksillesi ja heikkouksillesi. Jos pidit tästä matematiikan oppitunnista, pidät ohjelmastamme. Yksityiskohtaisempien oppituntien lisäksi saat tuhansia harjoitusongelmia, jotka on järjestetty yksilöllisten taitojen mukaan, jotta opit tehokkaimmin. Annamme sinulle myös vaiheittaisen ohjelman, jota voit seurata, jotta et koskaan hämmentyisi siitä, mitä opiskella seuraavaksi.

Katso 5 päivän ilmainen kokeilujaksomme:

Onko ystäviä, jotka tarvitsevat myös apua testin valmistelussa? Jaa tämä artikkeli!

Mielenkiintoisia Artikkeleita

Unionin SAT -tulokset ja GPA

Rhode Island School of Design Pääsyvaatimukset

23 parasta yliopistokaupunkia (upeilla yliopistoilla)

Haluatko mennä kouluun yhdessä maan parhaista korkeakouluista? Olemme keränneet joukon ehdotuksia upeista kaupungeista, joissa on suuria kouluja.

1260 SAT -pisteet: Onko tämä hyvä?

William Jessupin yliopiston pääsyvaatimukset

1220 SAT-pisteet: Onko tämä hyvä?

Keskimääräiset SAT- ja ACT-tulokset valtioittain (osallistumista oikaistu)

Osallistumisasteella on valtava vaikutus valtion keskimääräisiin SAT / ACT-pisteisiin. Kaikissa osavaltioissa SAT / ACT: n huippuopiskelijat ovat innokkaimpia ottamaan sen vastaan, joten valtioilla, joilla on alhainen osallistumisaste, on mekaanisesti korkeammat SAT / ACT-pisteet. Tässä käytämme edistyneitä tilastollisia menetelmiä osallistumisasteen hallitsemiseksi päästäksesi valtioiden todelliseen järjestykseen niiden todellisen SAT- ja ACT-pistemäärän perusteella.

Mikä on Disney College -ohjelma? Onko se sinulle sopiva?

Kiinnostaako Disney College -ohjelma? Opi, mikä se on, miten se toimii ja onko se sinulle sopiva, sekä vinkkejä Disney College Program -sovelluksellesi.

Havaijin yliopisto, Hilo Pääsyvaatimukset

Itä -Illinoisin yliopiston pääsyvaatimukset

Union College (KY): n pääsyvaatimukset

Mitä ovat yliopiston valmistelukurssit ja -kurssit?

Mikä on yliopistovalmistelu? Mitä kursseja ja luokkia käytät osana korkeakoulun valmisteluohjelmaa? Opi täydellisestä oppaastamme.

Columbia Collegen pääsyvaatimukset

Täydellinen IB -fysiikan opetusohjelma: SL ja HL

Mitä sinun on opittava IB -fysiikan HL- ja SL -kursseille? Lue koko IB -fysiikan opetusohjelma varmistaaksesi, että muistat jokaisen aiheen.

William Pennin yliopiston pääsyvaatimukset

Mitä sinun tulee tietää yliopiston valmistavasta koulusta

Löydä osavaltioiden sijoitukset, SAT/ACT -tulokset, AP -tunnit, opettajien verkkosivustot, urheiluryhmät ja paljon muuta yliopiston valmistuskoulusta Victorville, CA.

Mitä sinun on tiedettävä West Adamsin valmistelevasta lukiosta

Löydä osavaltioiden rankingit, SAT / ACT-tulokset, AP-luokat, opettajien verkkosivustot, urheilutiimit ja paljon muuta West Adams Preparatory High Schoolista Los Angelesissa, Kaliforniassa.

RIKKOMINEN: SAT-testipäivämuutokset COVID-19: lle (koronavirus)

Mitä koronaviruspandemia tarkoittaa SAT: lle? Selitämme mitkä SAT-testipäivät peruutetaan ja miten kollegion hallitus lähestyy COVID-19: tä.

University of Mount Unionin pääsyvaatimukset

Tiede Hazel Eyes

Mikä määrää silmien värin? Voivatko silmät muuttaa väriä? Opi pähkinänruskeat silmät ja muut epätavalliset silmien värit.

La Sierran yliopiston pääsyvaatimukset

2016-17 Akateeminen opas | Arroyo Valleyn lukio

Löydä osavaltioiden sijoitukset, SAT/ACT -tulokset, AP -tunnit, opettajan verkkosivustot, urheiluryhmät ja paljon muuta Arroyo Valley High Schoolista San Bernardinossa, Kaliforniassa.

Mitä sinun on tiedettävä Northridge Akatemian lukiosta

Löydä osavaltioiden rankingit, SAT / ACT-tulokset, AP-luokat, opettajien verkkosivustot, urheilutiimit ja paljon muuta Northridge Academy High Schoolista Northridgessä, Kaliforniassa.

Florida College pääsyvaatimukset

Chicagon osavaltion yliopiston SAT -tulokset ja GPA