Yhden muuttujan yhtälöt SAT-matematiikassa: Täydelliset strategiat

Feature_dominos.jpg

Tavallaan yksittäiset muuttujayhtälöt ovat yleisimpiä ja vähiten yleiset kysymystyypit SAT-matematiikkaosassa. Miksi? Koska harvinaista on löytää enemmän kuin yksi tai kaksi yksittäistä muuttujayhtälöä testiä kohti, ja silti yksittäisten muuttujayhtälöiden ratkaiseminen ja käsittely on perusedellytys useimpien kaikkien SAT-matemaattisten kysymysten ratkaisemiselle.

Vaikka et usein näe yksittäisiä muuttujayhtälöitä yksin, on tärkeää, että osaat määrittää, käyttää ja manipuloida niitä. Et voi ratkaista monimutkaisempia lausekkeita, kuten kvadratiikkaa, useita muuttujia jne., Ymmärtämättä ensin yhden muuttujan yhtälöitä.



Tämä opas on täydellinen läpikäynti yhden muuttujan yhtälöistä SAT: lle - mitkä he ovat, miten näet heidät testissä ja kuinka ne asetetaan ja ratkaistaan.


body_A_plus.jpg Kun saat yhden muuttujan yhtälöt, voit jatkaa yhä monimutkaisempien ongelmien ratkaisemista.

Mitä ovat yhden muuttujan yhtälöt?

Yksi muuttujan yhtälö koostuu kahdesta osasta: (yksinäinen) muuttuja ja yhtälö. Katsotaan siis mitä ne ovat ja miten ne kootaan yhteen.

Muuttuja on symbolinen paikkamerkki numerolle, jota emme vielä tiedä. Usein x: tä tai y: tä käytetään muuttujana matemaattisissa tehtävissä, mutta muuttujat voidaan esittää millä tahansa symbolilla tai kirjaimella.

$$ 4t = 20 $$

Tässä tapauksessa t on muuttujamme. Se edustaa numeroa, jota ei tällä hetkellä tunneta.

Yhtälö asettaa kaksi (tai useampaa) matemaattista lauseketta yhtä suureksi. Osoittaaksemme, että lausekkeet ovat samat, käytämme yhtäläisyysmerkkiä (=).

Lausekkeen kukin puoli voi olla yhtä yksinkertainen kuin yksi kokonaisluku tai yhtä monimutkainen kuin lauseke, jossa on useita muuttujia, eksponentteja tai mitä tahansa muuta.

$$ 15 (a + b ^ 3) - (a − 3) ^ 12 = 22 $$

Edellä on esimerkki yhtälöstä. Lausekkeen molemmat puolet ovat yhtä suuret kuin toinen.

Joten jos koomme määritelmämme, tiedämme, että:

Yksi muuttujan yhtälö on yhtälö, jossa on vain yksi muuttuja. Muuttujaa voidaan käyttää useita kertoja ja / tai sitä voidaan käyttää yhtälön kummallakin puolella, kunhan muuttuja pysyy samana.

Joitakin esimerkkejä yhden muuttujan yhtälöistä:

$$ {4 (a − 3)} / a = 2 (a ^ 8) $$

$$ a + 7− (a + 3) = 4 $$

$$ 6a + a - 3 = a + 21 $$

Huomaat, että jotkut yhtälöt käyttivät muuttujaa a useita kertoja. Muut yhtälöt käyttivät muuttujaa yhtäläisyysmerkin kummallakin puolella.

Riippumatta siitä, kuinka monta kertaa muuttujaa käytetään, kaikki nämä ovat edelleen yhden muuttujan ongelmia, koska muuttuja pysyy vakiona eikä muita muuttujia ole.

body_puzzle.jpg Kun löydät muuttujan, voit ratkaista koko palapelin.

Tyypilliset yhden muuttujan yhtälöt SAT: lla

Yhden muuttujan yhtälöt jaetaan kahteen laajaan ryhmään SAT: ssa - annetut yhtälöt ja sanaongelmat. Sanaongelmat ovat ylivoimaisesti yleisempiä, ja sinun pitäisi odottaa näkevän yhden tai kaksi testiä kohti. Annetut yhtälöt, kun ne näkyvät, jäävät yleensä matemaattisen osan tehtävien 1-4 väliin.

Tarkastellaan kutakin tyyppiä.

Annetut yhtälöt

Annettu yhtälö antaa sinulle yhtälön, jota sinun on käytettävä ongelman ratkaisemiseksi. Käymme läpi tarkat prosessit, joita tarvitaan tällaisen ongelman ratkaisemiseksi, seuraavassa osiossa, mutta ymmärrä nyt vain, että tavoitteesi on eristää muuttujasi.

body_SAT_variable_4.png

(Käymme läpi tämän kysymyksen ratkaisemisen myöhemmin oppaassa)

Tässä tehtävässä sinua pyydetään etsimään eristetty muuttuja lopullisena vastauksena. Mutta muista huomata, että näin ei ole aina.

Joskus kysymys pyytää sinua ratkaisemaan pelkästään y: n (tai x: n tai muun muuttujan) puolesta, ja joskus kysymys pyytää sinua ratkaisemaan y: lle toisen termin (2y tai 12y jne.).

Kiinnitä aina huomiota tarkalleen mitä kysymys pyytää sinua löytämään. Sinun on ensin eristettävä muuttujasi ongelman ratkaisemiseksi, mutta tarkista aina, pitäisikö sinun pysähtyä siihen vai haluatko jatkaa, lopullisen vastauksen löytämiseksi.

Sanaongelmat

Sanaongelma kuvaa tilannetta ja pyytää sinua löytämään puuttuvan muuttujan. Sinun on kirjoitettava oma yhtälösi kysymykseen antamiesi tietojen perusteella.

Jälleen lopullinen vastauksesi voi olla muuttujan arvo (x tai y jne.) Tai muuttuja, joka on siirretty eri termiin ($ 2x $, $ y ^ 2 $ jne.).

body_SAT_variable_12.png

(Käymme läpi tämän kysymyksen ratkaisemisen myöhemmin oppaassa)

Yhden muuttujan yhtälön käsitteleminen

Yhden muuttujayhtälön ratkaisemiseksi meidän on eristettävä muuttujamme yhtälön toiselle puolelle. Ja tapa, jolla teemme tämän, on siirtämällä kaikki muu muut Yhtenäisyysmerkin puoli.

Jotta voisimme muuttaa ehtojamme (ilmaisuja), meidän on peruutettava ne alkuperäiseltä puolelta. Tämä tarkoittaa, että meidän on asetettava muuttujat nollaksi käytettäessä summausta / kertolaskua, ja asetettava muuttuja arvoon 1 käytettäessä jakoa / kertolaskua.

(Miksi asetamme sen arvoon 1 käytettäessä jakoa / kertolukua? Koska käytämme kertolasku ja jako arvoon eristää muuttujamme. Mutta asettamalla sen arvoksi 1 annamme itsellemme vain yhden muuttujan työskennellä.)

Ehdon peruuttaminen tapahtuu suorittamalla vastapäätä kunkin termin termi. Vastakkaiset funktioparit ovat:

  • Yhteen-ja vähennyslasku
  • Kertolasku ja jako

Esimerkiksi, jos meillä on toisella puolella termi, jolla on miinusmerkki (vähennyslasku), meidän on lisätä saman määrän molemmilta puolilta.

$ x - 4 = 6 $

$ x - 4 + 4 = 6 + 4 $

$ x = $ 10

Jos meillä on termi, jota kerrotaan, meidän on tehtävä jakaa saman määrän molemmilta puolilta.

4xx = 20 $

$ {4x} / 4 = {20} / 4 $

kuinka saada transkriptiot lukiosta

$ x = $ 5

Ja niin edelleen.

Mitä tahansa teet yhtälön toisella puolella, sinun on tehtävä toisella. Tämä kumoaa samanlaiset termit ja siirtää ehdot olennaisesti yhtälön puolelta toiselle.

body_scales.png

Yhtälöiden käsittely on kyse tasapainosta.

Vaiheet yksittäisen muuttujan ongelman ratkaisemiseksi

Otetaan tyypillinen muuttujalauseke ja jaetaan se sen ratkaisemiseen tarvittaviin vaiheisiin.

$ 14−2x + 2 + 6x = 64. $ Etsi $ {1/2} x. $


# 1: Yhdistä samanlaisia ​​termejä

Jos samassa muuttujassa on useampi kuin yksi termi, meidän on yhdistettävä ne muuttujan lopullisen eristämiseksi. Voimme lisätä tai vähentää termejä samalla muuttujalla samalla tavalla kuin muutkin numerot.

14–2x + 2 + 6x = 64 dollaria

Täällä meillä on $ −2x $ ja $ 6x $ (huomaa kuinka meidän piti pitää merkit numeroiden edessä ehjinä). Nyt lisätään ne yhteen.

$ −2x + 6x = 4x $

Meillä on myös useita lukuja ilman muuttujia yhtälömme vasemmalla puolella. Meidän on myös yhdistettävä nämä, koska ne ovat myös kuin termejä.

14 + 2 = 16 dollaria

Joten nyt, kun laitamme palat yhteen, yhtälömme näyttää tältä:

16 dollaria + 4x = 64 dollaria


# 2: Eristä termi muuttujan kanssa

Kun olemme yhdistäneet muuttujamme, meidän on eristettävä muuttujan termi. Jos termi on yksinkertaisesti itse muuttuja (esim. $ X $), voimme ohittaa tämän vaiheen. Mutta koska termi täällä on $ 6x $, meidän on ensin eristettävä koko termi.

16 dollaria + 4x = 64 dollaria

Meillä on täällä positiivinen 16, joista haluamme päästä eroon, jotta voimme eristää $ 4x $. Tämä tarkoittaa sitä, että meidän on vähennettävä 16 yhtälömme molemmilta puolilta. Miksi? Koska meillä on positiivinen 16, mikä tarkoittaa, että se on lisäys. Ja vähennyslasku on päinvastainen summaamiseen.

Meidän on myös vähennettävä 16 kummaltakin puolelta, jos haluat peruuttaa ensimmäisen lausekkeen 16 (tee siitä nolla), jotta voimme eristää muuttujamme.

16-16 dollaria + 4x = 64-16 dollaria

4x = 48 $


# 3: Eristä muuttujasi

Nyt kun olemme eristäneet termi ($ 4x $), voimme edelleen eristää muuttuja .

Jälleen suoritamme termille päinvastaisen toiminnan. Tässä tapauksessa meillä on $ 4x $, joka käyttää kertolaskua. Muuttujan eristämiseksi meidän on siksi käytettävä jakamista (kertolaskun vastakohta) jakamalla 4: llä molemmat puolet. Tämä asettaa x: n yhtä suureksi ja eristää siten.

4x = 48 $

$ {4x} / 4 = {48} / 4 $

$ x = $ 12


# 4: Tarkista muuttuja kytkemällä se takaisin

Nyt kun olemme ratkaisseet muuttujamme, tarkista, että se on oikein kytkemällä se takaisin alkuperäiseen yhtälöön.

$ x = $ 12

14–2x + 2 + 6x = 64 dollaria

14−2 (12) + 2 + 6 (12) = 64 dollaria

14–24 + 2 + 72 = 64 dollaria

$ −10 + 74 = $ 64

64 dollaria = 64 dollaria

Menestys! Olemme eristäneet muuttujan oikein ja löytäneet sen arvon.


# 5: Ja viimeiseksi, tarkista vielä, että vastaat oikeaan kysymykseen.

Ah-ha! Emme voi pysähtyä täällä. Alkuperäinen kysymyksemme pyysi arvoa $ 1 / 2x $, ei vain x itsestään. Jos olisimme pysähtyneet tähän hintaan $ x = 12 $, olisimme saaneet lopullisen vastauksen väärin.

Lopetamme ongelman sanomalla:

$ {1/2} x = (1/2) 12 = 6 $

Niin lopullinen vastauksemme on 6.

Varmista aina, että tarkistat sekä, että muuttujasi on oikein, että vastaat tarkkaan kysymykseen, johon testi pyytää sinua vastaamaan.


Yritetään nyt uudelleen aikaisemmalla yhtälöongelmallamme.

Meillä on $ {1/3} y + 9 = 0 $, ja meidän on eristettävä muuttujamme löytääkseen y arvo

Vaihe 1, yhdistä samankaltaiset termit:

Yhdistettäviä termejä ei ole, joten voimme ohittaa vaiheen 1.

Vaihe 2, eristää muuttujan termi:

$ 1 / 3y + 9 = $ 0

$ 1 / 3y + 9−9 = 0−9 $

$ 1 / 3y = −9 $

Vaihe 3, eristä muuttuja:

$ 1 / 3y = −9 $

$ 3 * 1 / 3y = −9 $

$ y = −27 $

Vaihe 4, tarkista vastaus:

$ 1 / 3y + 9 = $ 0

$ (1/3 * −27) + 9 = 0 $

$ −9 + 9 = $ 0

$ 0 = $ 0

Vaihe 5, tarkista, vastaatko oikeaan kysymykseen:

Alkuperäinen kysymys halusi meidän löytävän y, ja juuri sen löysimme. Voimme sanoa, että olemme valmiit.

Menestys! Viimeinen vastauksemme on A , -27.

body_ready.png Oletko valmis kokeilemaan yhden muuttujan yhtälötietosi?

Testaa tietosi

1.

body_SAT_variable_12-1.png


2.

body_SAT_variable_9.png

3.

body_SAT_variable_10.png

Neljä.

body_SAT_variable_5.png


Vastaukset: 700, B, A, C


Vastaus Selitykset:

1. Tämä ongelma on varovainen, koska huomaat, että lopullinen vastauksesi EI ole muuttujasi. Miksi? Koska meitä pyydetään löytämään jokaisen henkilön tekemä rahamäärä viikon aikana ja muuttujamme on kuitenkin summa myynti he tekivät.

Joten käydään läpi ongelman ja muodostetaan yhtälömme.

Meille kerrotaan, että sekä Tom että Alison ansaitsivat saman määrän rahaa tietyllä viikolla, mikä tarkoittaa, että tämä on yhtälöongelma (heidän tulonsa asetetaan yhtä suuriksi).

Tiedämme myös, että heillä oli täsmälleen sama määrä myyntiä ja että tätä lukua ei vielä tunneta. Tämä on ainoa muuttujamme. Kutsutaan sitä x: ksi.

Tom ansaitsi 300 dollaria plus 20% myynnistään. Voimme asettaa hänen puolet yhtälöstä näin:

300 dollaria + 0,2x dollaria

(Jos haluat lisätietoja prosenttiosuuksista ja siitä, miksi voimme asettaa 20% x: stä $ 0,2x $: ksi, tutustu oppaasemme SAT-murtolukuihin ja suhteisiin.)

Alison ansaitsi 200 dollaria plus 25% myynnistään. Joten voimme asettaa hänelle puolet yhtälöstä näin:

200 dollaria + 0,25x dollaria

Aseta nyt molemmat puolet yhtä suuriksi ja ratkaise muuttujamme.

300 dollaria + 0,2x = 200 + 0,25x dollaria

Yhdistetään ensin samanlaiset termimme siirtämällä ne yhtälön vastakkaisille puolille:

$ 300−200 = 0,25x − 0,2x $

100 dollaria = 0,05x dollaria

Eristetään nyt muuttujamme:

100 dollaria / 0,05 = {0,05x} / 0,05 dollaria

$ 2000 = x $

Tämä tarkoittaa, että kukin myi 2000 dollarin arvosta tuotetta.

Mutta odota! Emme voi pysähtyä täällä. Kysymyksessä pyydettiin meitä löytämään heidän viikoittainen korvauksensa, EI viikoittainen myynti. Meidän on liitettävä 2000 takaisin yhteen alkuperäisistä yhtälöistä x: n sijasta, jotta löydämme lopullisen vastauksen.

Otetaan taas Tomin viikoittaiset tulot:

300 dollaria + 0,2x dollaria

300 dollaria + 0,2 (2000) dollaria

300 + 400 dollaria

700

Joten sekä Tom että Alison (muista, että he ansaitsivat saman summan) ansaitsivat 700 dollaria tällä viikolla.

Viimeinen vastauksemme on 700.

(Huomaa: voit tarkistaa vastauksesi myös Alisonin alkuperäisellä yhtälöllä:

200 dollaria + 0,25x dollaria

200 dollaria + 0,25 (2000) dollaria

200 dollaria + 500 dollaria

700

Joko niin, vastaus on 700)


2. Meille kerrotaan, että kolmion kehä on 13 ja toisen sivun pituus 3. Muut kaksi sivua ovat yhtä suuret. Tämä tarkoittaa, että perustaisimme yhtälön, joka näyttäisi tältä:

3 dollaria + 2x = 13 dollaria

Yhtälön vasen puoli on kaikkien kolmion sivujen summa. x korvaa tuntemattomat sivupituuksemme. Ja olemme kertoneet x: n kahdella, koska kaksi tuntematonta sivupituutta ovat samat. Nyt ratkaisemme.

3 dollaria + 2x = 13 dollaria

Vähennä 3 molemmilta puolilta

3–3 + 2x = 13−3 $

2xx = 10 $

Eristää muuttujamme

$ {2x} / 2 = 10/2 $

$ x = $ 5

Joten kaikkien muiden sivupituuksien on oltava yhtä suuria. Liitä vastaus takaisin varmistaaksesi, että tämä on oikea.

3 + 5 + 5 = 13 dollaria

13 dollaria = 13 dollaria

mitä luokkia pitää käydä lukiossa

Menestys! Ja meiltä kysytään kummankin puolen pituutta, joten tiedämme, että muuttuvamme vastauksemme on lopullinen ratkaisu.

Viimeinen vastauksemme on B , 5.


3. Meitä pyydetään etsimään Alin valmistamien voileipien määrä, joten tehkäämme tuntematon muuttujamme A: lle.

Tämä tarkoittaa, että Ali valmisti useita voileipiä. Meille kerrotaan, että Ben valmisti kolme kertaa niin paljon voileipiä kuin Ali, mikä tarkoittaa, että Ben teki $ 3a $ voileipiä.

Nyt Carla teki kaksinkertaisen määrän voileipiä kuin Ben. Sanomme edelleen, että kaikki tehdyt voileivät ovat useita voileipiä, joten Carla teki $ 2 * 3a = 6a $ voileipiä.

Ja tiedämme myös, että voileipien kokonaismäärä oli 20. Joten nyt, kun laitamme kaiken yhteen, saamme:

$ a + 3a + 6a = 20 $

Yhdistä samanlaiset termimme ja saamme:

10a = 20 $

Eristää muuttujamme.

$ {10a} / 10 = {20} / 10 $

$ a = 2 $

Tarkista nyt, että se on oikein.

Jos Ali valmistaa 2 voileipää ja Ben tekee kolme kertaa niin monta, hän on tehnyt 6 voileipää. Jos Carla tekee kaksinkertaisen määrän Ben , hän on tehnyt 12 voileipää.

2 + 6 + 12 = 20 dollaria

20 = 20

Menestys! Olemme eristäneet muuttujamme oikein.

Koska sanoimme, että A oli voileipien määrä, jonka Ali valmisti, tämä tarkoittaa:

Viimeinen vastauksemme on A , Ali teki 2 voileipää.


Neljä. Meille annetaan ongelma: '$ 10 + x $ on 5 enemmän kuin 10.' Kysymyksessä oleva 'on' asettaa termit yhtäläisiksi, joten kun käännämme tämän lausunnon, saamme:

10 dollaria + x = 15 dollaria

Eristetään nyt muuttujamme.

10-10 dollaria + x = 15-10 dollaria

$ x = $ 5

Tarkistetaan nyt kytkemällä x takaisin alkuperäiseen yhtälöön.

$ 10 + x $ on 5 enemmän kuin 10.

$ 10 + 5 = 15 $ on 5 enemmän kuin 10.

Menestys, olemme eristäneet muuttujamme. Mutta odota! Viimeinen kysymys haluaa meidän löytävän arvon 2x, ei vain x.

$ x = $ 5

2 dollaria (5) = 10 dollaria

Niin lopullinen vastauksemme on C , $ 2x = 10 $

body_fireworks.jpg Vau! Valloitit nuo yksittäiset muuttujayhtälöt!

Ota pois

Yksittäiset muunnelmat muodostavat monien muiden SAT-ongelmien selkärangan. Tietäen kuinka käsitellä tällaisia ​​lausekkeita, voit rakentaa näitä tekniikoita ratkaistaksesi paljon monimutkaisempia ongelmia ja yhtälöitä.

Muista vain suorittaa sama toimenpide yhtälön molemmille puolille ja tallentaa muuttujan eristäminen viimeiseksi, ja voitat yhden muuttujan yhtälöt vasemmalle ja oikealle.

Nyt sinulla on rakennuspalikat ymmärtämään, miten edetä ja ottaa loput SAT-matemaattisista aiheista. Joten rakenna tämä tieto ja käsittele loput SAT-matematiikan tarjonnasta.

Mielenkiintoisia Artikkeleita

2.2 GPA: Onko tämä hyvä? Korkeakoulut, joihin pääset 2.2

Mikä on 2.2 GPA? Onko se hyvä vai huono, ja mitkä oppilaitokset hyväksyvät 2.2 GPA: n? Ota selvää, mihin kouluihin pääset.

Kalifornian taiteen instituutin pääsyvaatimukset

22 keskeistä alkemiasymbolia ja niiden merkitykset

Mitä ovat alkemiasymbolit? Katso täydellinen oppaamme tärkeimmistä alkemiasymboleista ja merkityksistä.

Täsmälleen mitä odottaa AP -kielen monivalinnalta

Oletko hämmentynyt tukiaseman kielen ja kokoonpanon monivalinnoista? Selitämme eri kysymystyyppejä ja tarjoamme asiantuntijavinkkejä, joiden avulla voit ässää kokeen.

3 tärkeintä vinkkiä erottuvaan Cornell-esseeseen

Kamppailetko Cornellin essee -kehotteen kanssa? Opi kirjoittamaan suuri Cornell -lisäesite, joka saa sovelluksesi loistamaan.

Paras Algebra 1 Regents -katsausopas 2021

Otatko Algebra 1 Regents -kokeen? Tutustu asiantuntija -arvio -oppaaseemme opintovihjeitä ja neuvoja varten.

Fordhamin yliopiston pääsyvaatimukset

Kuinka saada 36 ACT English: 10 strategiaa täydeltä maalintekijältä

Pisteytys 36 ACT-englanniksi vaatii täydellisyyttä. Opi ACT-asiantuntijan kriittiset strategiat tämän osan hallitsemiseksi.

Clayton State Universityn pääsyvaatimukset

Parhaat ACCUPLACER-harjoituskokeet: matematiikka, lukeminen ja paljon muuta

Tarvitsetko ACCUPLACER-harjoitustestin? Katso kokoelmamme kirjoittamisen, lukemisen ja matematiikan ACCUPLACER-harjoitustesteistä.

Jazzista Jambalayaan: 11 hauskaa tekemistä New Orleansissa

Mietitkö mitä tehdä New Orleansissa? Katso luettelo suosituimmista nähtävyyksistä ja piilotetuista helmistä, mukaan lukien suokierrokset, kreoliruoka ja ranskalainen kortteli.

Montserratin taiteen korkeakoulun pääsyvaatimukset

Caltech vs MIT: Mikä on parempi?

Onko Caltech parempi kuin MIT? Mikä koulu sopii sinulle? Opi eroja näiden huipputekniikan korkeakoulujen välillä.

Malone Universityn pääsyvaatimukset

New Jerseyn teknologiainstituutin pääsyvaatimukset

Kuinka päästä sisään: Temple Universityn pääsyvaatimukset

Stonehill College SAT -tulokset ja GPA

Kuinka tarkastukset ja saldot toimivat Yhdysvaltain hallituksessa

Mitä ovat sekit ja saldot? Kuinka ne toimivat? Täydellinen tarkistus- ja saldomääritelmäoppaamme jakaa tämän Yhdysvaltojen hallituksen näkökohdan yksityiskohtaisella esimerkillä.

Parhaat koulut Kaliforniassa | Capistrano Connections Academy Charter School -sijoitukset ja tilastot

Löydä osavaltioiden rankingit, SAT / ACT-tulokset, AP-luokat, opettajien verkkosivustot, urheilutiimit ja paljon muuta Capistrano Connections Academy Charter Schoolista Aliso Viejo, Kalifornia.

2016-17 Akateeminen opas | Oak Parkin lukio

Löydä osavaltioiden sijoitukset, SAT/ACT -tulokset, AP -tunnit, opettajien verkkosivustot, urheiluryhmät ja paljon muuta Oak Park High Schoolista paikassa Oak Park, CA.

New Yorkin sisustuskoulun pääsyvaatimukset

1060 SAT-pisteet: Onko tämä hyvä?

Amerikan katolisen yliopiston pääsyvaatimukset

Covenant Collegen pääsyvaatimukset

UNT ACT -pisteet ja GPA