SAT -trigonometria: SOHCAHTOA ja radiaanit

body_trigintro.png

Trigonometria ja radiaanit ovat uusia lisäyksiä SAT Math -osaan! Rakastatko SOHCAHTOA- ja $ {π} $ -kulmamittauksia? Vihaatko trigonometriaa ja radiaaneja etkä tiedä mitä SOHCAHTOA tai $ {π}/{2} $ tarkoittaa? Riippumatta siitä, miltä SAT -trigonometria tuntuu, sinun ei tarvitse stressata. Tässä oppaassa kerron sinulle kaiken, mitä sinun tarvitsee tietää trigonometriasta ja radiaaneista SAT -matematiikkatestiä varten, ja opastan sinua harjoitusongelmien läpi.

Trigonometriset kaavat: sini, kosini, tangentti

Vaikka trigonometria korvaa alle 5% kaikista matemaattisista kysymyksistä , haluat silti saada nämä kysymykset oikein, etkä voi vastata trigonometrian kysymyksiin oikein tietämättä seuraavia kaavoja:



body_trig1.png

Etsi kulman sini kun otetaan huomioon kolmion sivujen mitat.

$$ sin (x) = { (Mitta :/: : vastakkainen : sivu : to : the:: kulma)}/{ (Mitta :/:: : hypotenuse) } $$

Yllä olevassa kuvassa merkityn kulman sini olisi $ {a}/{h} $

Etsi kulman kosini kun otetaan huomioon kolmion sivujen mitat.

$$ cos (x) = { (Mitta : of: : the: viereinen : side : to : the:: angle)}/{ (Measure : of:: the:: hypotenuse) } $$

Yllä olevassa kuvassa merkityn kulman kosini olisi $ {b}/{h} $.

Etsi kulman tangentti kun otetaan huomioon kolmion sivujen mitat.

$$ tan (x) = { (Mitta :/: : vastakkaisesta : sivusta : kohteeseen: : kulma)}/{ (Mitta :/:: : viereinen : side : to : the: kulma)} $$

Yllä olevassa kuvassa merkityn kulman tangentti olisi $ {a}/{b} $.

Hyödyllinen muistin temppu on lyhenne: SOHCAHTOA.

S ine on yhtä suuri TAI positio ohi H ypotenuse

C osine on yhtä suuri TO vierekkäin H ypotenuse

T agentti on yhtä suuri TAI positio ohi TO vierekkäin

Sinun pitäisi myös tietää täydentävä kulmasuhde sinille ja kosinille, joka on $ sin (x °) = cos (90 ° −x °) $.

Kuinka käyttää trigonometriataitoja SAT -matematiikassa

On kaksi tärkeintä trigonometriakysymystyyppiä näet testissä. Opetan sinulle, miten käsitellä jokaista.

Kysymystyyppi 1 pyytää sinua löytämään sinin, kosinin tai tangentin ja käyttämällä kolmion sivujen mittoja. Jotta voit vastata näihin kysymyksiin, sinun on käytettävä kaaviota (se tarkoittaa piirtämistä, jos sitä ei ole annettu sinulle). Käydään tämä esimerkki läpi:

Kolmio ABC on suorakulmio, jossa kulma B on 90 °; hypotenuusa on 5 ja sivu AB on 4. Mikä on kosini A?

Aseta ensin tämä kolmio käyttämällä annettuja tietoja:

body_tri1.png

Tunnista sitten tarvitsemasi tiedot. Tässä tapauksessa kysymys kosini A. : kulma)}/{ (Mittaa :/: : hypotenuse)} $. Tunnista tarvitsemasi kappaleet: kulma, kulman viereinen sivu ja hypotenuusa:

body_tri3.pngMeillä on kaikki tarvitsemamme tiedot, joten meidän tarvitsee vain laittaa ne kaavaan:

$ cos (A) = { (Mitta : of: : the: viereinen : side : to : the:: angle)}/{ (Measure : of:: the:: hypotenuse)} = {4}/{5} $.

$ {4}/{5} $ on vastaus.

Hieman vaikeampi versio tästä kysymyksestä saattaa kysyä siniltä A kosinin A sijaan. .

body_tri4.png

Siinä tapauksessa meidän on käytettävä Pythagoraan lauseita (tai tietämystämme 3-4-5 suorakulmioista) löytääksemme kulman A (BC) vastakkaisen sivun mitta.

$$ eaa. = √ {(5^2)-(4^2)} = √ {(25)-(16)} = √ {9} = 3 $$

Tiedä, että tiedämme, että puoli BC on 3, meidän tarvitsee vain laittaa se kaavaan:

$$ sin (A) = { (Mitta :/: : vastakkaisesta : sivusta : kohteeseen: : kulma)}/{ (Mitta :/:: : hypotenuse) } = {3}/{5} $$

Kysymyksen tyyppi 2 pyytää sinua löytämään kulman sinin, kosinin tai tangentin käyttämällä toista annettua siniä, kosiniä tai kulman tangenttia. Samoin kuin ensimmäisen tyyppinen kysymys, sinun on vastattava näihin kysymyksiin kaavion avulla (mikä tarkoittaa piirtämistä, jos sitä ei ole annettu sinulle). Katso tämä esimerkki:

Oikeassa ABC -kolmiossa, jossa B on oikea kulma, $ cos (A) = {4}/{5} $. Mikä on synti (C)?

Haluat hyökätä näihin ongelmiin piirtämällä kaavion, mutta ensin sinun on selvitettävä, mitä minne pitäisi mennä. Käytä kosinikaavaa kaavion piirtämiseen.

$$ cos (A) = { (Mitta : of: : the: viereinen : side : to : the:: angle)}/{ (Measure : of:: the:: hypotenuse) } = {4}/{5} $$

Viereisen sivun mitat (AB) = 4

Hypotenuusan mittaus (AC) = 5

body_tri3.png

Saatat huomata, että se on sama kolmio kuin edellisessä esimerkissä. Tässä tapauksessa haluamme löytää kosinin C. Tiedämme aiempien kaavojen perusteella, että $ sin (C) = {Measure : of : the:: vastakkaiset : side : to : the: kulma }/{Measure : of : the: hypotenuse} $. Tunnista tarvitsemasi kappaleet: kulma, kulman viereinen sivu ja hypotenuusa.

$$ sin (C) = { (Mitta :/: : vastakkainen : sivu : to : the:: kulma)}/{ (Mitta :/:: : hypotenuse) } = {4}/{5} $$

$ {4}/{5} $ on vastaus.

Hieman vaikeampi versio tästä kysymyksestä saattaa pyytää sinulta tangenttia C sinin C sijasta. .

body_tri5.png

Siinä tapauksessa meidän on käytettävä Pythagoraan lauseita (tai tietoamme 3-4-5 suorakulmioista) löytääksemme kulman C (BC) viereisen sivun mitta.

$$ eaa. = √ {(5^2)-(4^2)} = √ {(25)-(16)} = √ {9} = 3 $$

Tiedä, että tiedämme, että puoli BC on 3, meidän tarvitsee vain laittaa se kaavaan:

$$ tan (C) = { (Mitta :/: : vastakkaisesta : sivusta : kohteeseen: : kulma)}/{ (Mitta :/:: : viereinen : side : to : the: kulma)} = {4}/{3} $$

Nyt kun tiedämme kuinka soveltaa tarvittavia kaavoja triggereiden kysymysten ratkaisemiseksi, yritetään soveltaa niitä joihinkin todellisiin SAT -käytännön ongelmiin.

SAT -trigonometrian käytännön ongelmat

Esimerkki #1

body_trigquest1.png

Vastaus Selitys: Kolmio ABC on suora kolmio, jonka suorakulma on B. Siksi AC on suorakulmion ABC hypotenuusa ja AB ja BC ovat suorakulmion ABC jalat. Pythagoraan lauseen mukaan

$$ AB = √ (202) - (162) = √ (400) - (256) = √144 = 12 $$

Koska kolmio DEF on samanlainen kuin kolmio ABC, jossa kärkipiste F vastaa pistettä C, kulman F mitta on yhtä suuri kuin kulman C mitta. Siksi $ sin‌F = sin‌C $. Kolmion ABC sivupituuksilta $ sin C = { (Measure : of: the : päinvastainen : side : to : the:: angle)}/{ (Measure : of : : hypotenuse)} = { AB}/{ AC} = {12}/{20} = {3}/{5} $. Siksi $ sin‌F = {3}/{5} $.

Lopullinen vastaus on $ {3}/{5} $ tai .6.



Esimerkki #2

body_trigquest2.png

Vastaus Selitys: On kaksi tapaa ratkaista tämä. Nopeampi tapa on, jos tiedät sinin ja kosinin täydentävän kulmasuhteen, joka on $ sin (x °) = cos (90 ° - x °) $. Siksi $ cos (90 ° −x °) = {4}/{5} $ tai 0,8.

Voit kuitenkin ratkaista tämän ongelman myös luomalla kaavion annettujen tietojen perusteella. Se on suorakulmainen kolmio (jonka on oltava, jotta voidaan käyttää siniä/kosiniä), ja kulman x sini on $ {4}/{5} $, jos $ sine = { (vastakkainen : puoli)}/{ hypotenuusa} $, sitten vastakkainen puoli on 4 pitkä ja hypotenuse on 5 pitkä:

body_trigquest2answer.png

Koska kaksi kolmion kulmista on mitta x ° ja 90 °, kolmannen kulman on oltava mitta 180 ° −90 ° −x ° = 90 ° −x ° $. Kuviosta $ cos (90 ° -x °) $, joka on sama kuin $ {naapuri : side}/{the : hypotenuse} $, on myös $ {4}/{5} $ tai 0,8.


Esimerkki #3

body_trigquest3.png

Vastaus Selitys: Samoin kuin muut trigonometriaongelmat, on olemassa kaksi tapaa ratkaista tämä ongelma.

Nopeampi tapa on ymmärtää, että x ja y ovat toisiaan täydentäviä kulmia (yhteensä 90 °). Käyttämällä sitten täydentävää kulmasuhdetta sinille ja kosinille, joka on $ sin (x °) = cos (90 ° - x °) $, huomaat, että $ cos (y °) = 0,6 $.

Voit kuitenkin ratkaista tämän ongelman myös luomalla kaavion annettujen tietojen perusteella. Se on suorakulmainen kolmio (jonka on oltava, jotta voidaan käyttää siniä/kosiniä), ja kulman x sini on 0,6. Siksi x ° -kulmaa vastakkaisen sivun suhde hypotenuuseen on .6.

body_trigquest3answer.png

X ° -kulmaa vastapäätä oleva sivu on y ° -kulman viereinen sivu. $ cos (y °) = { (: sivu : viereinen : to : : y ° : kulma)}/{ (: hypotenuse)} = {6}/{10 } $, on yhtä suuri kuin .6.

Vastaus on 0.6.

Radiaanit

Radiaanit tulevat vain pieni osa (noin 5%) SAT -matemaattisista kysymyksistä mutta haluat silti saada nämä kysymykset oikein! Radiaanit ovat yksi vaikeimmista käsitteistä. Mitä sinun tarvitsee tietää radiaanimittauksesta?

Määritelmä Radian Measure

Paljaiden luiden määritelmä: Radiaani on kulman mitta (aivan kuten aste on kulman mitta).

Perusteellinen/käsitteellinen versio: Radiaani on kulman mitta, joka perustuu kaaren pituuteen, jonka kulma katkaisee yksikköympyrän. Kuulostaa paskalta tiedän. Anna minun hajottaa se. Yksikköympyrä on ympyrä, jonka säde on 1 yksikkö. Katso kuva:

body_unitcircle.png

Gustavb / Wikimedia

Tämän yksikköympyrän ympärysmitta (tai pituus sen ympärillä) on $ {2π} $, koska $ {C = 2πr} $ ja r = 1.

Jos kulman mitta olisi 360 °, radiaanimitta olisi $ {2π} $, koska kaaren pituus, jonka yksikköympyrän 360 ° kulma katkaisee, olisi ympyrän koko kehä (jonka jo määritimme {2π} $). Seuraavassa on muutamia hyviä radiaaniarvoja, jotka on muistettava:

Asteet Radiaanit (tarkka)
30 ° $ {π} / {6} $
45 ° $ {π} / {4} $
60 ° $ {π} / {3} $
90 ° $ {π} / {2} $



Kuinka muuntaa kulmamittaus asteina ja radiaaneina

Jos haluat siirtyä asteista radiaaneiksi, sinun on kerrottava $ {π} $, jaettava 180 °. Näin voit muuntaa 90 ° radiaaneiksi:

$ $ {90 ° π} / {180 °} $$

$$ = {π} / {2} $$

Jos haluat siirtyä radiaaneista asteisiin, sinun on kerrottava 180 °, jaettava $ {π} $. Voit muuntaa $ {π}/{4} $ asteiksi seuraavasti:

$$ {({π} / {4}) (180 °)} / {π} $$

$$ = {({180 ° π} / {4}) / {π} $$

toimenpiteet sydämen tehon heikkenemiseksi

$$ = 45 ° $$

Kuinka arvioida trigonometrisia toimintoja vertailukulmamittauksissa

Vertailukulman mitat (College Boardin määrittelemänä) ovat 0, $ {π}/{6} $, $ {π}/{4} $, $ {π}/{3} $, $ {π}/ {2} $ radiaanit, jotka ovat yhtä suuret kuin kulma, ovat 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° ja 90 °.

Sinun on kyettävä käyttämään näitä trigonometristen funktioiden kanssa, jotka on kuvattu yllä olevassa trigonometriaosassa (sini, kosini ja tangentti). Sinulta ei pyydetä laskimia vaativien trigonometristen funktioiden arvoja.

Muista, että sinin ja kosinin täydentävä kulmasuhde, joka on $ sin (x °) = cos (90 ° - x °) $, on $ sin (x) = cos ({π}/{2} −x) $ radiaaneiksi muunnettuna.

SAT -radiaanit harjoittavat ongelmia

Esimerkki #1

body_rad1.png

Vastaus Selitys: Oikea vastaus on 6. Etäisyyskaavalla säteen OA pituus on $ √ {((√3)^2)+(1^2)} = √ {3+1} = √ {4} = 2 $ . Siten $ sin (∠AOB) = {1}/{2} $.

Siksi ∠AOB on 30 °, joka on $ 30 ({π}/{180}) = {π}/{6} $ radiaania. Siksi a: n arvo on 6.

Esimerkki #2

body_rad2.png

Vastaus Selitys: Täysi kierros pisteen ympäri on 360 ° tai $ {2π} $ radiaania. Koska keskikulman AOB mitat ovat $ {5π}/{4} $ radiaania, se edustaa $/{2π} = {5}/{8} $ koko pyörimistä pisteen O ympäri. Siksi keskikulman muodostama sektori AOB: n pinta -ala on $ {5}/{8} $ koko ympyrän alue. Vastaus on $ {5}/{8} $ tai desimaalimuodossa .625.


Esimerkki #3

Mikä seuraavista vastaa $ cos ({3π}/{10}) $?

A) $ - cos ({π} / {5}) $
B) $ sin ({7π} / {10}) $
C) $ - syn ({π} / {5}) $
D) $ sin ({π} / {5}) $

Vastaus Selitys: Jotta voit vastata tähän kysymykseen oikein, sinun on ymmärrettävä trigonometria ja radiaanit. Sini ja kosini liittyvät toisiinsa yhtälöllä $ sin (x) = cos ({π}/{2} -x) $.

Jotta voit selvittää, mitä vastaava arvo on $ cos ({3π}/{10}) $, sinun on muutettava $ {3π}/{10} $ muotoon $ {π}/{2} -x $. Tätä varten sinun on määritettävä yhtälö:

$$ {3π} / {10} = {π} / {2} -x $$

Ratkaise sitten x.

$$ {3π} / {10} - {π} / {2} = - x $$

$$ {3π}/{10}-{5π}/{10} =-x $$

$$-{2π}/{10} =-x $$

$$ {2π}/{10} = x $$

$$ {π} / {5} = x $$

Siksi $ cos ({3π}/{10}) = cos ({π}/{2}-{π}/{5}) = sin ({π}/{5}) $. D on oikea vastaus.

Testaa itsesi SAT -trigonometrian kysymyksissä!

Harjoitus #1

Kolmiossa DCE kulman C mitta on 90 °, $ DC = 5 $ ja $ CE = 12 $. Mikä on $ sin (D) $ arvo?

Harjoitus #2

Suorakulmiossa $ cos ({π}/{2} -x) = {6}/{8} $. Mikä on $ sin (x) $?

Harjoitus #3

Ympyrässä O keskikulman AOB mitta on $ {3π}/{4} $ radiaania. Mikä murto -osa ympyrän pinta -alasta on keskikulman AOB muodostaman sektorin alue?

Vastaukset: # 1: $ {12} / {13} $, # 2: $ {6} / {8} $, 3) $ {3} / {8} $

Mielenkiintoisia Artikkeleita

High Point -yliopiston pääsyvaatimukset

Yeshivan yliopiston pääsyvaatimukset

Lakeland Collegen pääsyvaatimukset

Murray State Universityn pääsyvaatimukset

UNT SAT -pisteet ja GPA

Mikä on ACT Kaplan ACT Low Cost Test Prep Program?

Oletko utelias ACT Kaplan -yhteistyöstä? Selitämme, millainen uusi valmisteluohjelma tulee olemaan, ja tutkimme, onko se oikea valinta sinulle.

Arkansasin yliopisto, Little Rock, pääsyvaatimukset

Haittaako sotkuinen käsinkirjoitus SAT -esseepisteitäsi?

Oletko huolissasi siitä, että käsinkirjoituksesi vahingoittaa SAT -esseepisteitäsi? Selitämme virallisen käytännön, miksi sinun ei pitäisi huolehtia, ja vinkkejä siistiin kirjoittamiseen.

Thomasin yliopiston pääsyvaatimukset

Cal State Long Beachin pääsyvaatimukset

Oregonin osavaltion yliopiston pääsyvaatimukset

Mitä tapahtuu, jos unohdan AP-kokeeni?

Oletko huolissasi AP-testin puuttumisesta? Selitämme, kuinka voit selvittää, oletko oikeutettu myöhäiseen AP-testaukseen ja mikä on paras tapa varmistaa, että voit suorittaa kokeen.

Länsi-Michiganin yliopiston pääsyvaatimukset

Seitsemännen luokan SAT-valmistelut: Kuinka suorittaa kokeet

Etkö ole varma, kuinka valmistautua SAT: lle seitsemännessä luokassa? Selitämme, miksi aloittaa opiskelu aikaisin ja miten saada kaiken irti 7. luokan SAT-valmistelusta.

Kuinka kirjoittaa Penn State -essee kolmessa vaiheessa

Miten sinun pitäisi lähestyä Penn State'n essee -kehotetta? Täydellinen opas Penn State -esseesi kirjoittamiseen sisältää vinkkejä ja esimerkkejä.

Texas A&M University - Texarkanan pääsyvaatimukset

105 TOEFL-pisteet: Onko tämä hyvä? Koulut, joihin pääset

Onko TOEFL 105 hyvä tulos? Opi kuinka 105 TOEFL-pisteet verrataan, mihin kouluihin se voi viedä sinut ja kuinka nostaa pisteet vielä enemmän.

Yhden muuttujan yhtälöt SAT-matematiikassa: Täydelliset strategiat

Yhden muuttujan yhtälöt ovat yksi yleisimmistä SAT-matemaattisista käsitteistä, jotka sinun on tiedettävä. Opi strategiamme näiden matemaattisten ongelmien hallitsemiseksi ja harjoittele kysymyksiimme.

Union College pääsyvaatimukset

Kuinka päästä sisään: Kentuckyn yliopiston pääsyvaatimukset

2016-17 Akateeminen opas | Oak Parkin lukio

Löydä osavaltioiden sijoitukset, SAT/ACT -tulokset, AP -tunnit, opettajien verkkosivustot, urheiluryhmät ja paljon muuta Oak Park High Schoolista paikassa Oak Park, CA.

Voitko saada PSAT-pisteet aikaisemmin? Miten?

Yritätkö saada varhaisia ​​PSAT-pisteitä? Selitämme, milloin voit saada pisteet ja kuinka lähettää ne kouluihin.

Spring Arbor Universityn pääsyvaatimukset

Montanan yliopiston pääsyvaatimukset

SAT-testipäivät 2017-2018

Suunnitteletko SAT: n ottamista lukuvuonna 2017-2018? Katso SAT-testien päivämäärät 2017-18 aikataulusta saadaksesi ilmoittautumisajat ja pisteiden julkaisuajat.