Kuinka integroida osittain: kaava ja esimerkit

feature_integrationbyparts

Johdannaissopimuksia voi olla tarpeeksi vaikea ratkaista yksin, mutta kun kaksi toimintoa on kerrottu yhteen, ja sinun on otettava ne käyttöön, voi olla vaikea tietää mistä aloittaa. Siinä osien integrointikaava tulee!

Tämä kätevä kaava voi tehdä laskentatehtävistäsi paljon helpompia auttamalla sinua löytämään johdannaisia, joiden selvittäminen muuten olisi vaikeaa ja aikaa vievää. Tässä oppaassa selitämme kaavan, käymme läpi kaikki vaiheet, jotka sinun on suoritettava osien integroimiseksi, ja ratkaisemme esimerkkitehtäviä, jotta voit tulla osien asiantuntijan integroinniksi.



Mikä on osien integrointikaava?

Osien integrointi on tekniikka, jota käytetään laskennassa funktioiden tuloksen integraalin löytämiseksi niiden johdannaisen ja antiderivaatan integraalin suhteen. Pohjimmiltaan, jos sinulla on yhtälö, jossa kaksi funktiota on kerrottu yhteen ja et tiedä miten löytää antiderivaatti, osien integrointi kaava muuttaa toimintojen antiderivaatin eri muotoon, jotta yksinkertaistamisen löytäminen on helpompaa /ratkaista. Tässä on kaava:

∫ f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) - ∫ f' (x) g (x) dx

Aloitat yhtälön vasemmalla puolella (kahden funktion tuloksen antiderivaatti) ja muunnat sen yhtälön oikealle puolelle.

Osien integrointi kaava voidaan kirjoittaa myös kompaktimmin, jossa u korvattu f (x), v korvattu g (x), dv korvattu g '(x) ja du korvattu f' (x):

Dv u dv = uv - ∫ v du

Voit käyttää integraatiota osittain, kun sinun on löydettävä monimutkaisen toiminnon antiderivaatti, jota on vaikea ratkaista jakamatta sitä kahteen yhteen kerrottuun funktioon. Se ei ehkä aluksi vaikuta uskomattoman hyödylliseltä kaavalta, koska yhtälön kumpikaan puoli ei ole merkittävästi yksinkertaisempi kuin toinen, mutta kun käsittelemme esimerkkejä, huomaat kuinka hyödyllistä osien kaavan integrointi voi olla johdannaisten ratkaisemiseksi.

Ongelmien ratkaiseminen osien integroinnin avulla

Ongelman ratkaisemiseksi on viisi vaihetta integroimalla osittain -kaavalla:

#1: Valitse u ja v

#2: Erota u löytää du

#3: Integroi v löytääksesi dv dx

#4: Liitä nämä arvot integrointiin osayhtälöllä

#5: Yksinkertaista ja ratkaise

Se voi tuntua monimutkaiselta integroida osittain, mutta kaavan käyttäminen on itse asiassa melko yksinkertaista. Kolme ensimmäistä vaihetta liittyvät eri muuttujien valitsemiseen/löytämiseen, jotta ne voidaan liittää yhtälöön vaiheessa neljä. Sinulla on oltava vankka käsitys siitä, miten erottaa ja integroida, mutta jos teet niin, nämä vaiheet ovat helppoja.

Yleensä tavoitteesi on alkaen olla yksinkertaisempi kuin u ja johdannaisen sinun ollakseen monimutkaisempi kuin v . Pohjimmiltaan haluat, että yhtälön oikea puoli pysyy mahdollisimman yksinkertaisena, jotta voit yksinkertaistaa ja ratkaista sen. Älä kuitenkaan stressaa liikaa u: n ja v: n valinnasta. Jos ensimmäiset valintasi eivät toimi, vaihda ne ja integroi osittain uuden u: n ja v: n kanssa nähdäksesi, toimiiko se paremmin.

Kun olet saanut muuttujasi, sinun tarvitsee vain yksinkertaistaa, kunnes sinulla ei ole enää johdannaisia, ja sait vastauksesi! Jatka lukemista nähdäksesi, kuinka käytämme näitä vaiheita todellisten näyteongelmien ratkaisemiseen.

body_isaacnewton

Esimerkkejä osien integroinnista

Tässä on kolme eri vaikeusnäyteongelmaa. Yritä ratkaista jokainen itse ja katso sitten, kuinka käytimme osien integrointia oikean vastauksen saamiseksi.

Esimerkki #1: Etsi sin xsin (x) dx

Jos katsoisit vain tätä ongelmaa, sinulla ei ehkä ole aavistustakaan siitä, miten xsin (x): n antiderivaatin ottaminen. Tässä tulee osien integrointi! Ensimmäinen askel on valita oma u ja sinun . X as u , se on helppo saada alkaen , joten aloitetaan siitä.

u = x

dv = synti (x)

Miten mitoosi eroaa meioosista?

Vaiheissa 2 ja 3 erotamme toisistaan u ja integroida sinun saada alkaen ja v . X: n derivaatta on dx (helppo!) Ja sinin (x) antiderivaatta on -cos (x).

alkaen = dx

v = -kos (x)

Nyt on aika liittää nämä muuttujat integrointiin osakaavalla: ∫ u dv = uv - ∫ v du. Tämä antaa meille:

∫ xsin (x) dx = x (-cos (x)) -∫ -cos (x) dx

Työnnä seuraavaksi yhtälön oikea puoli yksinkertaistamaan sitä. Jaa ensin negatiivit:

= -xcos (x) + ∫ cos (x) dx

Cosin (x) antiderivaatti on syn (x), ja älä unohda lisätä mielivaltainen vakio C loppuun:

= -xcos (x) + sin (x) + C.

Siinäpä se, löysit antiderivatiivin!


Esimerkki 2: Etsi ∫ x2ln (x) dx

Jälleen kerran valitsemme a u ja a sinun .

u = ln (x)

dv = x2

Käytämme sitten näitä tietoja määritelläksemme alkaen ja v . Ln (x): n johdannainen on (1/x) dx ja x: n antiderivaatta2on (⅓) x3.

alkaen = (1/x) dx

v = (⅓) x3

Nyt kun meillä on kaikki muuttujat, kytketään ne integrointiin osayhtälön avulla:

∫x2ln (x) dx = ln (x) ⋅ (⅓) x3−∫ (⅓) x3⋅ (1/x) dx

mikä on gvard -vaatimus Harvardille

Nyt ei muuta kuin yksinkertaistamaan! Kerro ensin kaikki:

= (x3ln (x))/3 - ∫x2/3 dx

Ota sitten iderx: n johdannainen2/3. Lisää vakio ja olet valmis; yhtälössä ei ole enää jäljellä johdannaisia:

= (x3ln (x))/3 - (1/9) x3+ C

Esimerkki #3: Etsi ∫ ex sin (x) dx

Valitse jälleen a u ja a sinun :

u = synti (x)

dv = entinen

löytö alkaen ja v (sinin (x) johdannainen on cox (x) ja ex: n johdannainen on edelleen vain ex.

alkaen = cos (x)

v = entinen

Syötä nämä muuttujat yhtälöön:

∫ex sin (x) dx = sin (x) ex -∫cos (x) ex dx

Asiat ovat edelleen melko sotkuisia, ja yhtälön ∫cos (x) ex dx -osassa on edelleen kaksi funktiota kerrottuna yhdessä. Joskus, kun käytät integroi osilla kaavaa ja asiat näyttävät yhtä monimutkaisilta kuin ennen, kun kaksi toimintoa kerrotaan yhdessä, se voi auttaa osien integroinnin käyttämisessä uudelleen. Kokeillaan.

Keskittymällä vain yhtälön ∫cos (x) ex dx osaan, valitse toinen u ja sinun . Cos (x) -johdannainen on -sin (x), ja ex: n johdannainen on edelleen ex (ainakin se on helppoa!).

u = cos (x)

dv = entinen

alkaen = -sin (x)

v = entinen

Liitä nämä uudet muuttujat uudelleen kaavaan:

∫ex sin (x) dx = sin (x) ex - (cos (x) ex −∫ - sin (x) ex dx)

Yksinkertaista nyt:

∫ex sin (x) dx = ex sin (x) - ex cos (x) −∫ ex sin (x) dx

Voimme siirtää −∫ ex sin (x) dx yhtälön oikealta puolelta vasemmalle:

2∫ex sin (x) dx = ex sin (x) - ex cos (x)

Yksinkertaista tämä uudelleen ja lisää vakio:

∫ex sin (x) dx = ex (sin (x) - cos (x)) / 2 + C

Yhtälön oikealla puolella ei ole enää johdannaisia, joten vastaus löytyy! Pystyimme löytämään tuon sotkuisen yhtälön antiderivatiivin käsittelemällä osien integrointikaavan kahdesti.

body_counting

Yhteenveto: Kuinka integroida osittain

Osien integrointi kaava voi olla loistava tapa löytää kahden funktion tuloksen antiderivaatti, jota et muuten tietäisi ottaa käyttöön. Sinulla on oltava vankka tieto johdannaisista ja vasta -aineista, jotta voit käyttää sitä, mutta se on yksinkertainen kaava, joka voi auttaa sinua ratkaisemaan erilaisia ​​matemaattisia ongelmia. Vaiheet ovat:

#1: Valitse u ja v

oppilaitokset erityisopiskelijoille

#2: Erota u löytää du

#3: Integroi v löytääksesi dv dx

#4: Liitä nämä arvot integrointiin osayhtälöllä

#5: Yksinkertaista ja ratkaise

Mielenkiintoisia Artikkeleita

Salve Reginan yliopiston pääsyvaatimukset

AP Chem Formula Sheet: Mitä siinä on ja miten sitä käytetään

Mitä AP Chem -kaavasivulla on? Opi saamaan kaiken irti AP Chemistry -taulukosta tenttipäivänä.

Mitä lukiolaisten tulisi tehdä kesän aikana?

Keskustelua kesäohjelman ja harjoittelun välillä? Tämä opas auttaa lukion oppilaita valitsemaan parhaan tavan viettää kesänsä.

Lounais -yliopiston pääsyvaatimukset

Penn State Altoona SAT -tulokset ja GPA

Augustinusin yliopiston pääsyvaatimukset

Alabaman yliopisto Birminghamissa ACT-tulokset ja GPA

Jokainen saatavilla oleva IB Biology -paperi: ilmainen ja virallinen

Haluatko harjoittaa IB Biology -lehtien aiempia papereita? Olemme koonneet kaikki aikaisemmat paperit, jotka löysimme kätevään luetteloon. Harjoittele näiden testien avulla saadaksesi realistisimmat valmistelut.

Alaskan yliopiston kaakkoispääsyvaatimukset

Duquesne-yliopiston pääsyvaatimukset

Illinoisin yliopisto Urbana-Champaignin SAT-pisteissä ja GPA: ssa

Maryville College pääsyvaatimukset

Kalifornian parhaat koulut | Grace M. Davisin lukion sijoitukset ja tilastot

Löydä osavaltion rankingit, SAT/ACT -tulokset, AP -tunnit, opettajan verkkosivustot, urheiluryhmät ja paljon muuta Grace M. Davis High Schoolista Modesto, CA.

Mikä on EOP? Opas koulutusmahdollisuusohjelmiin

Oletko kiinnostunut koulutusmahdollisuusohjelmista? Tässä oppaassa kerrotaan, mikä on EOP, mitä etuja se tarjoaa ja miten voit liittyä.

Montevallon yliopiston pääsyvaatimukset

Parhaat koulut Kaliforniassa | East Bakersfieldin lukion sijoitukset ja tilastot

Löydä osavaltioiden rankingit, SAT / ACT-tulokset, AP-luokat, opettajien verkkosivustot, urheilutiimit ja paljon muuta East Bakersfield High Schoolista Bakersfieldissä, Kaliforniassa.

Kuinka monta kysymystä voit jättää väliin saadaksesi täydellisen SAT-pistemäärän?

Tavoitteena täydellinen SAT-pisteet? Tässä on kuinka monta kysymystä voit jättää väliin ja silti saada täydellinen 2400. Varoitus: sitä ei ole kovin paljon.

8+ ilmaista vanhaa virallista SAT -käytännön testiä

Haluatko lisää virallisia SAT -käytännön testejä? Tässä on aiempien vuosien ilmaisia ​​SAT -käytännön testejä, jotka voi ladata PDF -tiedostoina.

1020 SAT -pisteet: Onko tämä hyvä?

UNCP: n SAT-tulokset ja GPA

Keski -Arkansasin yliopiston pääsyvaatimukset

Alhambran vanhempi lukio | 2016-17 rankingit | (Martinez,)

Löydä osavaltioiden sijoitukset, SAT / ACT-tulokset, AP-luokat, opettajien verkkosivustot, urheilutiimit ja paljon muuta Alhambran vanhemmasta lukiosta Martinezissa, Kaliforniassa.

Kuinka päästä UCLA: hon: 5 avainvinkkiä

Kuinka vaikeaa on päästä UCLA: han? Opi kaikki mitä sinun tarvitsee tietää UCLA -sisäänpääsystä ja sisäänpääsystä.

Mikä on keskimääräinen College GPA? Majurin mukaan?

Mikä on keskimääräinen college GPA kansallisesti? Entä pääaineena? Opi korkeimmat ja alhaisimmat GPA: t yliopistossa ja miksi sillä on merkitystä tulevaisuutesi kannalta.

Kalifornian parhaat koulut | Merrill F.Westin lukion sijoitukset ja tilastot

Löydä osavaltion rankingit, SAT/ACT -tulokset, AP -tunnit, opettajan verkkosivustot, urheiluryhmät ja paljon muuta Merrill F.West High Schoolista Tracy, CA.