Helppo opas 30-60-90 kolmioon

ominaisuus_kolmiot

Akuutti, tylppä, tasakylkinen, tasasivuinen ... Kolmioita on monia erilaisia, mutta vain harvat, jotka ovat 'erityisiä'. Näillä erityisillä kolmioilla on sivut ja kulmat, jotka ovat johdonmukaisia ​​ja ennustettavissa ja joita voidaan käyttää oikopolkuun geometria- tai trigonometriaongelmiesi läpi. Ja 30-60-90 kolmio-lausutaan 'kolmekymmentä kuusikymmentä yhdeksänkymmentä'-sattuu olemaan todella erityinen kolmion tyyppi.

Tässä oppaassa käymme läpi, mikä on 30-60-90 kolmio, miksi se toimii ja milloin (ja miten) käyttää tietämystäsi siitä. Joten päästään asiaan!

Mikä on 30-60-90 kolmio?

30-60-90 kolmio on erityinen suorakulmio (suora kolmio on mikä tahansa kolmio, joka sisältää 90 asteen kulman), jonka kulma on aina 30 astetta, 60 astetta ja 90 astetta. Koska se on erityinen kolmio, sillä on myös sivun pituusarvot, jotka ovat aina johdonmukaisessa suhteessa toisiinsa.

hyviä aiheita tutkimuspaperille

Perussuhde 30-60-90 on:

Sivu 30 ° kulmaa vastapäätä: $ x $

Sivu 60 ° kulmaa vastapäätä: $ x * √3 $

Sivu 90 ° kulmaa vastapäätä: $ 2x $

body_306090 perinteinen

Esimerkiksi 30-60-90 asteen kolmion sivupituudet voivat olla:

2, 2√3, 4

body_esimerkki 1

7, 7√3, 14

body_esimerkki 2

√3, 3, 2√3

body_example_reverse.png

(Miksi pidempi jalka 3? Tässä kolmiossa lyhin jalka ($ x $) on $ √3 $, joten pidemmällä osuudella $ x√3 = √3 * √3 = √9 = 3 $. Ja hypotenuusa on 2 kertaa lyhyin jalka eli 2 $ 3 $)

Ja niin edelleen.

30 ° kulmaa vastapäätä oleva puoli on aina pienin , koska 30 astetta on pienin kulma. 60 ° kulmaa vastapäätä oleva puoli on keskipituus , koska 60 astetta on tämän kolmion keskikokoinen asteen kulma. Ja lopuksi 90 ° kulmaa vastapäätä oleva sivu on aina suurin sivu (hypotenuusa) koska 90 asteen kulma on suurin.

Vaikka se voi näyttää samankaltaiselta kuin muuntyyppiset suorakolmiot, syy 30-60-90 kolmio on niin erityinen, että tarvitset vain kolme tietoa löytääksesi kaikki muut mittaukset. Niin kauan kuin tiedät kahden kulmamittauksen ja yhden sivun pituuden arvon (ei väliä millä puolella), tiedät kaiken, mitä sinun tarvitsee tietää kolmiostasi.

Voimme esimerkiksi käyttää kolmiokaavaa 30-60-90 täyttämään kaikki jäljellä olevat kolmioiden tiedot.

Esimerkki 1

body_demo 2

Voimme nähdä, että tämä on suora kolmio, jossa hypotenuusa on kaksi kertaa yhden jalan pituus. Tämä tarkoittaa, että sen on oltava 30-60-90 kolmio ja pienempi annettu sivu on 30 ° vastapäätä.

Pidemmän jalan on siis oltava 60 ° kulmaa vastapäätä ja sen on oltava $ 6 * √3 $ tai $ 6√3 $.

Esimerkki 2

body_demo 4

Voimme nähdä, että tämän on oltava 30-60-90 kolmio, koska voimme nähdä, että tämä on suorakulmainen kolmio, jolla on yksi mittaus, 30 °. Merkitsemättömän kulman on tällöin oltava 60 °.

Koska 18 on 60 ° kulmaa vastapäätä oleva mitta, sen on oltava yhtä suuri kuin $ x√3 $. Lyhyimmän jalan on sitten mitattava $ 18/√3 $.

(Huomaa, että jalan pituus on itse asiassa $ 18/{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3 $, koska nimittäjä ei voi sisältää radikaalia/neliöjuuria).

Ja hypotenuusa on $ 2 (18/√3) $

(Huomaa, että jälleen kerran sinulla ei voi olla radikaalia nimittäjässä, joten lopullinen vastaus on todella 2 kertaa jalan pituus $ 6√3 $ => $ 12√3 $).

Esimerkki 3

body_demo 3

Jälleen meille annetaan kaksi kulmamittausta (90 ° ja 60 °), joten kolmas mitta on 30 °. Koska tämä kolmio on 30-60-90 ja hypotenuusa on 30, lyhin jalka on 15 ja pidempi jalka on 15√3.

body_eight pallo

Sinun ei tarvitse kuulla taikuutta kahdeksan palloa - nämä säännöt toimivat aina.

Miksi se toimii: 30-60-90 kolmiolauseen todiste

Mutta miksi tämä erityinen kolmio toimii niin kuin se toimii? Mistä tiedämme, että nämä säännöt ovat laillisia? Käydään läpi, kuinka 30-60-90-kolmiolause toimii ja todistetaan, miksi nämä sivupituudet ovat aina yhdenmukaisia.

Unohdetaan ensin oikeat kolmiot hetkeksi ja katsotaan tasasivuinen kolmio.

kehonkestävä 1

Tasasivuinen kolmio on kolmio, jolla on kaikki yhtä suuret sivut ja kaikki yhtä suuret kulmat. Koska kolmion sisäkulmat ovat aina 180 ° ja 180/3 = 60 $, tasasivuisella kolmikulmalla on aina kolme 60 ° kulmaa.

kehonkestävä 2

Nyt pudotetaan korkeus ylimmästä kulmasta kolmion pohjaan.

kehonkestävä 3

Olemme nyt loi kaksi suoraa kulmaa ja kaksi yhtenevää (yhtä suurta) kolmioa.

Mistä tiedämme, että ne ovat yhtä suuria kolmioita? Koska pudotimme korkeuden tasasivuinen kolmio, olemme jakaneet pohjan täsmälleen puoliksi. Uusilla kolmioilla on myös yksi sivupituus (korkeus), ja jokaisella on sama hypotenuusapituus. Koska niillä on kolme yhteistä sivupituutta (SSS), tämä tarkoittaa kolmiot ovat yhteneviä.

kehonkestävä 4

Huomautus: Kaksi kolmiota eivät ole vain yhdenmukaisia ​​sivupuolen pituuksien eli SSS-periaatteiden, vaan myös sivukulman-sivumittausten (SAS), kulma-kulmapuolen (AAS) ja kulma- sivukulma (ASA). Pohjimmiltaan? Ne ovat ehdottomasti yhdenmukaisia.

Nyt kun olemme todistaneet kahden uuden kolmion yhdenmukaisuudet, voimme nähdä, että yläkulmien on oltava yhtä suuret kuin 30 astetta (koska jokaisen kolmion kulmat ovat jo 90 ° ja 60 ° ja niiden on oltava 180 °). Tämä tarkoittaa olemme tehneet kaksi 30-60-90 kolmiota.

Ja koska tiedämme, että leikkaamme tasasivuisen kolmion pohjan puoliksi, voimme nähdä, että jokaisen 30-60-90 kolmion 30 ° kulmaa vastapäätä oleva sivu (lyhin sivu) on täsmälleen puolet hypotenuusan pituudesta .

Kutsutaan siis alkuperäistä sivupituuttamme $ x $ ja puolitettua pituutta $ x/2 $.

Nyt meidän tarvitsee vain löytää keskipituus, joka molemmilla kolmioilla on. Tätä varten voimme yksinkertaisesti käyttää Pythagoraan lauseita.

body_proof finaali

$ a^2 + b^2 = c^2 $

$ (x/2)^2 + b^2 = x^2 $

$ b^2 = x^2 - ({x^2}/4) $

$ b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4 $

$ b^2 = {3x^2}/4 $

$ b = {√3x} / 2 $

Joten meille jää: $ x/2, {x√3}/2, x $

Kerrotaan nyt jokainen mitta kahdella vain helpottaakseen elämää ja välttämään kaikkia murto -osia. Tällä tavalla meille jää:

$ x $, $ x√3 $, $ 2x $

Voimme siis nähdä, että 30-60-90 kolmio tulee aina niiden sivupituudet ovat jatkuvasti $ x $, $ x√3 $ ja $ 2x $ (tai $ x/2 $, $ {√3x}/2 $ ja $ x $).

body_equations

halvin valtion opetuksesta

Onneksi voimme todistaa 30-60-90 kolmion sääntöjen paikkansa ilman kaikkea ... tätä.

Milloin käyttää 30-60-90 kolmion sääntöjä

Kun tiedät 30-60-90 kolmion säännöt, voit säästää aikaa ja energiaa monissa erilaisissa matemaattisissa tehtävissä, nimittäin monenlaisissa geometria- ja trigonometriaongelmissa.

Geometria

Oikea ymmärrys 30-60-90 kolmioista antaa sinun ratkaista geometriakysymyksiä, joita joko olisi mahdotonta ratkaista tietämättä näitä suhdesääntöjä, tai ainakin vie paljon aikaa ja vaivaa ratkaistaksesi 'pitkän matkan'.

Kolmion erityissuhteilla voit selvittää puuttuvat kolmion korkeudet tai jalkojen pituudet (ilman Pythagoraan lauseen käyttöä), löytää kolmion alueen käyttämällä puuttuvia korkeus- tai pohjapituustietoja ja laskea nopeasti kehät.

Aina kun tarvitset nopeutta vastataksesi kysymykseen, muista 30-60-90 sääntösi kaltaiset pikanäppäimet.

Trigonometria

Kolmion suhteen 30-60-90 muistaminen ja ymmärtäminen mahdollistaa myös monien trigonometriaongelmien ratkaisemisen ilman laskinta tai vastausten arviointia desimaalimuodossa.

30-60-90 kolmiossa on melko yksinkertaiset sinit, kosinit ja tangentit kullekin kulmalle (ja nämä mittaukset ovat aina johdonmukaisia).

body_trig

30 asteen sini on aina 1/2 dollaria.

60 asteen kosini on aina 1/2 dollaria.

Vaikka muut sinit, kosinit ja tangentit ovat melko yksinkertaisia, nämä ovat ne kaksi, jotka on helpointa muistaa ja jotka näkyvät todennäköisesti testeissä. Joten näiden sääntöjen tunteminen antaa sinun löytää nämä trigonometriamittaukset mahdollisimman nopeasti.

Vinkkejä 30-60-90-sääntöjen muistamiseen

Tiedät, että nämä 30-60-90-suhdesäännöt ovat hyödyllisiä, mutta miten pidät tiedot mielessäsi? 30-60-90 kolmion sääntöjen muistaminen on asia, joka muistaa suhteen 1: √3: 2, ja tietää, että lyhin sivupituus on aina lyhintä kulmaa (30 °) vastapäätä ja pisin sivupituus aina vastakkaista suurin kulma (90 °).

Jotkut muistavat suhteen ajattelemalla, $ bi x $, $ bo 2 bi x $, $ bi x bo √ bo3 $, 'koska' 1, 2, 3 'peräkkäin on yleensä helppo muistaa. Yksi varotoimenpide tämän tekniikan käytössä on muistaa, että pisin puoli on itse asiassa $ 2x $, ei $ x $ kertaa $ √3 $.

Toinen tapa muistaa suhteet on käytä mnemonista sanapeliä suhteessa 1: juuri 3: 2 oikeassa järjestyksessä. Esimerkiksi 'Jackie Mitchell löi Lou Gehrigin ja' voitti myös Ruthyn '': yksi, juuri kolme, kaksi. (Ja se on todellinen baseball -historian tosiasia!)

Pelaa omilla muistilaitteillasi, jos ne eivät miellytä sinua - laula kappaleen suhde, löydä oma yksi, yksi kolme, kaksi lausetta tai keksi suhde runo. Voit jopa vain muistaa, että 30-60-90 kolmio on puoli tasasivuista ja selvittää mitat sieltä, jos et pidä niiden muistamisesta.

Sinun on kuitenkin järkevää muistaa nämä 30-60-90 sääntöä, säilyttää nämä suhteet pääsi tulevia geometria- ja trigonometriakysymyksiä varten.

body_muistuta

Muistaminen on ystäväsi, mutta voit saada sen tapahtumaan.

Hanki GPA -muuntotyökalu

muunna celsiusaste fahrenheit -kaavaksi

Esimerkki 30-60-90 Kysymyksiä

Nyt kun olemme tarkastelleet 30-60-90 kolmioiden muotoja ja syitä, selvitetään joitakin käytännön ongelmia.

Geometria

Rakennustyöläinen nojaa 40-jalkaiset tikkaat rakennuksen sivua vasten 30 asteen kulmassa maasta. Maa on tasainen ja rakennuksen sivu on kohtisuorassa maahan nähden. Kuinka pitkälle rakennusta ylöspäin tikkaat ulottuvat lähimpään jalkaan?

body_geo ex.5

Tietämättä 30-60-90 erityisiä kolmion sääntöjämme, meidän olisi käytettävä trigonometriaa ja laskinta ratkaisun löytämiseksi tähän ongelmaan, koska meillä on vain yksi kolmion sivumitta. Mutta koska tiedämme, että tämä on a erityinen kolmio, löydämme vastauksen muutamassa sekunnissa.

Jos rakennus ja maa ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, rakennuksen ja maan on muodostettava oikea (90 °) kulma. On myös otettava huomioon, että tikkaat kohtaavat maan 30 ° kulmassa. Voimme siis nähdä, että jäljellä olevan kulman on oltava 60 °, mikä tekee tästä kolmiosta 30-60-90.

body_geo ex 1

Nyt tiedämme, että tämän 30-60-90: n hypotenuusa (pisin sivu) on 40 jalkaa, mikä tarkoittaa, että lyhin sivu on puolet tästä pituudesta. (Muista, että pisin sivu on aina kaksi kertaa - $ 2x $ - niin pitkä kuin lyhin sivu.) Koska lyhin sivu on 30 ° kulmaa vastapäätä ja tämä kulma on tikkaiden asteen mitta maasta, se tarkoittaa, että tikapuiden yläosa osuu rakennukseen 20 metrin päähän maasta.

body_geo 2

Lopullinen vastauksemme on 20 jalkaa.

Trigonometria

Jos suorakolmiossa sin Θ = $ 1/2 $ ja lyhyin jalan pituus on 8. Mikä on sen puuttuvan sivun pituus, joka EI ole hypotenuusa?

body_trig ex 1

Koska tiedät 30-60-90 sääntösi, voit ratkaista tämän ongelman ilman pythagoraseen teoriaa tai laskinta.

Meille kerrottiin, että tämä on suorakulmainen kolmio, ja tiedämme erityisistä suorakolmion säännöistä, että sini 30 ° = 1/2 $. Puuttuvan kulman on siis oltava 60 astetta, mikä tekee tästä kolmiosta 30-60-90.

Ja koska tämä on 30-60-90 kolmio, ja meille kerrottiin, että lyhin sivu on 8, hypotenuusan on oltava 16 ja puuttuvan puolen on oltava $ 8 * √3 $ tai $ 8√3 $.

body_trig ex 3

Lopullinen vastauksemme on 8√3.

Take-Aways

Muistettaessa säännöt 30-60-90 kolmioille auttavat sinua oikomaan tiesi monien matemaattisten tehtävien läpi . Muista kuitenkin, että vaikka näiden sääntöjen tunteminen on kätevä työkalu vyössäsi, voit silti ratkaista useimmat ongelmat ilman niitä.

Seuraa $ x $, $ x√3 $, $ 2x $ ja 30-60-90 sääntöjä millä tahansa tavalla, mikä sinulle tuntuu järkevältä, ja yritä pitää ne suorana, jos voit, mutta älä panikoi, jos mielesi sammuu, kun on murheiden aika. Joka tapauksessa sinulla on tämä.

Ja jos tarvitset lisää harjoittelua, mene eteenpäin ja tarkista tämä 30-60-90 kolmion tietokilpailu . Hyvää testin tekemistä!

Onko ystäviä, jotka tarvitsevat myös apua testin valmistelussa? Jaa tämä artikkeli!

Mielenkiintoisia Artikkeleita

2.2 GPA: Onko tämä hyvä? Korkeakoulut, joihin pääset 2.2

Mikä on 2.2 GPA? Onko se hyvä vai huono, ja mitkä oppilaitokset hyväksyvät 2.2 GPA: n? Ota selvää, mihin kouluihin pääset.

Kalifornian taiteen instituutin pääsyvaatimukset

22 keskeistä alkemiasymbolia ja niiden merkitykset

Mitä ovat alkemiasymbolit? Katso täydellinen oppaamme tärkeimmistä alkemiasymboleista ja merkityksistä.

Täsmälleen mitä odottaa AP -kielen monivalinnalta

Oletko hämmentynyt tukiaseman kielen ja kokoonpanon monivalinnoista? Selitämme eri kysymystyyppejä ja tarjoamme asiantuntijavinkkejä, joiden avulla voit ässää kokeen.

3 tärkeintä vinkkiä erottuvaan Cornell-esseeseen

Kamppailetko Cornellin essee -kehotteen kanssa? Opi kirjoittamaan suuri Cornell -lisäesite, joka saa sovelluksesi loistamaan.

Paras Algebra 1 Regents -katsausopas 2021

Otatko Algebra 1 Regents -kokeen? Tutustu asiantuntija -arvio -oppaaseemme opintovihjeitä ja neuvoja varten.

Fordhamin yliopiston pääsyvaatimukset

Kuinka saada 36 ACT English: 10 strategiaa täydeltä maalintekijältä

Pisteytys 36 ACT-englanniksi vaatii täydellisyyttä. Opi ACT-asiantuntijan kriittiset strategiat tämän osan hallitsemiseksi.

Clayton State Universityn pääsyvaatimukset

Parhaat ACCUPLACER-harjoituskokeet: matematiikka, lukeminen ja paljon muuta

Tarvitsetko ACCUPLACER-harjoitustestin? Katso kokoelmamme kirjoittamisen, lukemisen ja matematiikan ACCUPLACER-harjoitustesteistä.

Jazzista Jambalayaan: 11 hauskaa tekemistä New Orleansissa

Mietitkö mitä tehdä New Orleansissa? Katso luettelo suosituimmista nähtävyyksistä ja piilotetuista helmistä, mukaan lukien suokierrokset, kreoliruoka ja ranskalainen kortteli.

Montserratin taiteen korkeakoulun pääsyvaatimukset

Caltech vs MIT: Mikä on parempi?

Onko Caltech parempi kuin MIT? Mikä koulu sopii sinulle? Opi eroja näiden huipputekniikan korkeakoulujen välillä.

Malone Universityn pääsyvaatimukset

New Jerseyn teknologiainstituutin pääsyvaatimukset

Kuinka päästä sisään: Temple Universityn pääsyvaatimukset

Stonehill College SAT -tulokset ja GPA

Kuinka tarkastukset ja saldot toimivat Yhdysvaltain hallituksessa

Mitä ovat sekit ja saldot? Kuinka ne toimivat? Täydellinen tarkistus- ja saldomääritelmäoppaamme jakaa tämän Yhdysvaltojen hallituksen näkökohdan yksityiskohtaisella esimerkillä.

Parhaat koulut Kaliforniassa | Capistrano Connections Academy Charter School -sijoitukset ja tilastot

Löydä osavaltioiden rankingit, SAT / ACT-tulokset, AP-luokat, opettajien verkkosivustot, urheilutiimit ja paljon muuta Capistrano Connections Academy Charter Schoolista Aliso Viejo, Kalifornia.

2016-17 Akateeminen opas | Oak Parkin lukio

Löydä osavaltioiden sijoitukset, SAT/ACT -tulokset, AP -tunnit, opettajien verkkosivustot, urheiluryhmät ja paljon muuta Oak Park High Schoolista paikassa Oak Park, CA.

New Yorkin sisustuskoulun pääsyvaatimukset

1060 SAT-pisteet: Onko tämä hyvä?

Amerikan katolisen yliopiston pääsyvaatimukset

Covenant Collegen pääsyvaatimukset

UNT ACT -pisteet ja GPA