Algebran toiminnot ACT -matematiikassa: oppitunti ja käytännön kysymyksiä

ominaisuus_arkki

Toiminnot. Pelkkä sanan kuuleminen riittää lähettämään joitakin oppilaita juoksemaan kukkuloille. Mutta älä koskaan pelkää! Vaikka toimintoongelmia pidetään ACT: n haastavimpina kysymyksinä, tämä johtuu vain siitä, että useimmat teistä ovat paljon tottuneempia käsittelemään muita matemaattisia aiheita (kuten murtoluvut, eksponentit tai ympyrät) kuin funktiot .

ACT: ssä kysymysvaikeudet luokitellaan sen mukaan, kuinka hyvin olet tottunut johonkin kysymykseen, ja ainoa tapa torjua tämä haaste on harjoitella ja tottua käsittelemään sinulle hieman vähemmän tuttuja kysymyksiä. Näet yleensä 3-4 toimintoa koskevaa kysymystä mistä tahansa ACT: stä, joten niille teistä, jotka eivät vielä tunne toimintoja (tai haluavat vain virittää), tämä opas on sinua varten.



Tämä on täydellinen opas ACT -toimintoihin. Käymme läpi tarkalleen, mitä toiminnot tarkoittavat, miten niitä käytetään, käsitellään ja tunnistetaan ja millaisia ​​toimintoongelmia näet ACT: ssä.

Mitä ovat toiminnot ja miten ne toimivat?

Toiminnot toimivat keinona kuvata tulojen ja tuotosten suhdetta . Ne voivat olla yhtälöiden, kaavioiden tai taulukoiden muodossa, mutta ne kuvaavat aina tätä panos-tuotos-suhdetta.

Se voi auttaa ajattelemaan toimintoja, kuten kokoonpanolinjaa tai reseptiä - syötä munia, vihanneksia ja juustoa, ja lopputulos on omletti.

Useimmiten näet funktiot, jotka on kirjoitettu muodossa $ f (x) = an yhtälö $. Funktion yhtälö voi olla yhtä monimutkainen kuin monimuuttujainen lauseke tai yksinkertainen kuin kokonaisluku.

Esimerkkejä toiminnoista:

$ f (x) = 14 $

$ f (x) = 2x + 10 $

$ f (x) = x^2 - 6x + 9 $

Toimintoja voidaan aina piirtää ja erilaiset toiminnot tuottavat erilaisia ​​kaavioita. Vakiokoordinaattikaaviossa, jonka akselit ovat $ x $ ja $ y $, kaavion syöte on $ x $ -arvo ja tulos on $ y $ -arvo.

body_input_output-2

Jokainen tulo ( $ bi x $ arvo) voi tuottaa vain yhden lähdön, mutta yhdellä lähdöllä voi olla useita tuloja . Toisin sanoen useat tulot voivat tuottaa saman lähdön.

Yksi tapa muistaa tämä on, että sinulla voi olla 'monta yhteen' (monta tuloa yhteen lähtöön), mutta EI 'yksi yhteen' (yksi tulo moniin lähtöihin).

Tämä tarkoittaa, että funktiokaaviossa voi olla mahdollisesti monia $ bi x $ -sieppauksia, mutta vain yksi $ bi y $ -siepata . (Miksi? Koska kun tulo on $ x = 0 $, tulostetta voi olla vain yksi tai $ y $.)

body_function_example_1.1

Toiminto, jossa on useita $ x $ -sieppaa

Voit aina testata, onko kuvaaja funktiokaavio käyttämällä tätä tulojen ja lähtöjen tulkintaa käyttämällä ' pystysuoran viivan testi. '' Toiminto tulee ei milloinkaan osu useampaan kuin yhteen pisteeseen millä tahansa pystysuoralla viivalla.

body_function_example_1.2

body_function_example_1.3

Pystysuoran viivan testi koskee kaikentyyppisiä toimintoja riippumatta siitä, kuinka 'oudolta' ne näyttävät.

body_function_example_2.2

body_function_example_2.3

Jopa 'oudon näköiset' toiminnot noudattavat pystysuoran viivan testiä.

Mutta mikä tahansa kuvaaja, joka ei läpäise pystysuuntaista testiä (leikkaamalla pystyviivan useammin kuin kerran), EI ole automaattisesti funktio.

body_function_example_3.1

Tämä kaavio epäonnistuu pystysuoran viivan testissä, mikä tarkoittaa, että se EI ole funktio.

body_fraud

Tarvittaessa voit aina havaita aidon toiminnon ei-toiminnosta käyttämällä pystysuuntaista testiä.

toimi englannin harjoitustesti pdf

Toiminnon ehdot ja määritelmät

Nyt kun olemme nähneet, mitä funktiot tekevät, puhutaanpa funktion osista.

Toiminnot esitetään sinulle joko niiden yhtälöiden, taulukoiden tai kaavion (jota kutsutaan funktion kuvaajana) perusteella. Tarkastellaan esimerkkifunktioyhtälöä ja jaetaan se osiinsa.

Esimerkki toiminnosta:

$ f (x) = x^2 + 12 $

$ f $ on nimi toiminnosta

(Huomaa: voimme kutsua toimintoamme muilla nimillä kuin $ f $. Tämä tiettyä funktiota kutsutaan $ f $: ksi, mutta saatat nähdä funktioita, jotka on kirjoitettu muodossa $ h (x) $, $ g (x) $, $ r (x) $ tai mitä tahansa muuta.)

$ (x) $ on tulo

(Huomaa: tässä tapauksessa syötteemme nimi on $ x $, mutta kuten funktion nimen kanssa, voimme kutsua syötettämme millä tahansa. $ F (q) $ tai $ f ( banaanit) $ ovat molemmat toimintoja, joilla on tulot $ q $ ja $ banaanit $, vastaavasti.)

$ x^2 + 5 $ on yhtälö, joka antaa meille lähtö kun liitämme tuloarvon $ x $

An järjestetty pari on tietyn tulon kytkentä sen lähtöön mille tahansa toiminnolle. Joten funktiolle $ f (x) = x - 6 $, kun tulo on 2, meillä voi olla tilattu pari:

$ f (x) = x - 6 $

$ f (2) = 2-6 $

$ f (2) = -4 $

Joten tilattu pari on $ (2, -4) $.

(Syöttöarvomme edustaa jälleen $ x $ -arvoamme ja yhtälön tulos, kun syöttöarvo on käsitelty, on $ y $ -arvo.)

Tilatut parit toimivat myös koordinaateina , jotta voimme käyttää niitä funktiokaavion piirtämiseen.

body_puzzle_pieces

Nyt kun meillä on kaikki toiminnot ja määritelmät, katsotaanpa, miten ne toimivat yhdessä.

Erilaisia ​​toimintoja

Näimme ennen, että funktioilla voi olla kaikenlaisia ​​erilaisia ​​yhtälöitä niiden tuotokseen, mikä muuttaa niiden vastaavien kaavioiden muotoa. Katsotaanpa kutakin yhtälötyyppiä ja sen kuvaajaa.

Lineaariset toiminnot

Lineaarinen funktio muodostaa kaavion suorasta viivasta. Lineaarisen funktion yhtälö voi olla joko yksinkertainen luku (esim. $ f (x) = 4 $) tai sillä on muuttuja, jota EI koroteta suuremmalle kuin 1 (esim. $ f (x) = 3x + 3 $).

body_linear-1

Miksi muuttujaa EI voi nostaa suuremmalle kuin 1? Koska $ x^2 $ voi antaa sinulle yhden tuloksen ($ y $ -arvo) kaksi eri tulot $ x $. Esimerkiksi $ -4^2 $ ja $ 4^2 $ ovat molemmat 16, mikä tarkoittaa kaaviota ei voi olla suora viiva. (Tarkastelemme tätä tarkemmin seuraavassa askeleessa.)

Viivan vakioyhtälö on:

$ y = mx + b $

$ bi m $ on kaltevuus linjasta.

$ bi b $ on $ bi y $ -siepata .

(Jos haluat lisätietoja linjoista ja rinteistä, tutustu oppaaseemme ACT -linjoista ja rinteistä!)

Esimerkkejä lineaarisista funktioista:

$ f (x) = x - 24 $

$ f (x) = 4 $

$ f (x) = 2x + 35 $

Neliöfunktiot

Neliöfunktio muodostaa kaavion paraabelista, joka on hevosenkengän tyyppinen kuvaaja, joka kaartuu avautumaan ylös tai alas. Se tarkoittaa myös sitä lähtömuuttujamme on aina neliö.

Syy, miksi muuttujamme täytyy olla neliö (ei kuutioita, ei 1: n teholle jne.), On samasta syystä kuin lineaarinen funktio ei voi olla neliö-koska kaksi syöttöarvoa voidaan neliöidä tuottamaan sama tulos (esim. $ 5^2 $ ja $ -5^2 $ molemmat ovat 25).

Tämä antaa meille käyrän.

body_parabola-1

(Huomaa: paraabeli ei voi avautua sivulta toiselle, koska sen olisi ylitettävä $ y $ -akseli useammin kuin kerran. Tämä on jo todettu, mikä merkitsisi sitä, että se epäonnistuu pystysuuntaisen testin ja EI ole funktio. )

body_parabola_not_function

Tämä EI ole toisen asteen yhtälö, koska se epäonnistuu pystysuorassa testissä.

Neliöfunktio kirjoitetaan usein seuraavasti:

$ f (x) = kirves^2 + bx + c $

$ Bi ja $ arvo kertoo kuinka paraabeli on muotoiltu ja mihin suuntaan se aukeaa.

TO positiivinen $ bi a $ antaa meille paraabelin, joka avautuu ylöspäin.

body_pos_a

TO negatiivinen $ bi a $ antaa meille paraabelin, joka avautuu alaspäin.

body_neg_a

TO suuri $ bi a $ arvo antaa meille laihan paraabelin.

body_large_a-1

TO pieni $ bi a $ arvo antaa meille laajan paraabelin.

body_small_a-1

$ Bi b $ arvo kertoo meille, missä paraabelin kärki on, vasemmalla tai oikealla alkuperästä.

TO positiivinen $ bi b $ asettaa paraabelin kärjen alkuperästä vasemmalle.

body_pos_b

TO negatiivinen $ bi b $ asettaa paraabelin kärjen oikealle alkuperästä.

body_neg_b

$ Ja c $ arvo antaa meille paraabelin $ y $ -interceptin.

body_c_value_1

(Huomaa: kun $ b = 0 $, y-leikkaus on myös paraabelin kärjen sijainti.)

body_c_value_2

body_stress

Älä stressaa, jos tämä tuntuu tällä hetkellä paljon informaatiolta - pienellä harjoituksella ja organisoinnilla pääset pian ratkaisemaan toimintakysymyksesi.

Tyypillisiä toimintaongelmia

ACT -toiminnon ongelmat testaavat aina, ymmärrätkö oikein tulojen ja lähtöjen välisen suhteen. Nämä kysymykset jaetaan yleensä neljään kysymystyyppiin:

# 1 : Toiminnot annetuilla yhtälöillä

# 2 : Sisäkkäiset toiminnot

# 3 : Toiminnot kaavioilla

# 4 : Toiminnot taulukoiden kanssa

Näiden kolmen luokan välillä voi olla jonkin verran päällekkäisyyttä, mutta nämä ovat pääteemoja, joita testataan toimintojen suhteen. Katsotaanpa joitain todellisia ACT -matemaattisia esimerkkejä jokaisesta tyypistä.

Toimintoyhtälöt

Funktioyhtälö -ongelma antaa sinulle funktion yhtälömuodossa ja pyytää sinua käyttämään yhtä tai useampaa tuloa tuloksen (tai lähdön elementtien) löytämiseen.

Jotta löydämme tietyn lähdön, meidän on liitettävä annettu syöttö hintaan $ x $ yhtälöömme. Tämä antaa meille lopullisen tuotoksen, kun ratkaisemme yhtälön.

Joten jos haluamme löytää $ f (5) $ yhtälölle $ f (x) = x + 7 $, liitämme 5 hintaan $ x $.

$ f (x) = x + 7 $

$ f (5) = 5 + 7 $

$ f (5) = 12 $

Joten kun panoksemme ($ x $) on 5, tuotoksemme ($ y $) on 12.

Katsotaanpa nyt tämän tyyppistä todellista ACT -esimerkkiä:

Mikä on funktion $ h (x) = 4x^2-5x $ arvo $ h (-3) $?

TO . -93
B . -9
C . kaksikymmentäyksi
D . 51
JA . 159

Vaikka tämän toiminnon nimi on $ h $ (tavanomaisen $ f $ sijasta), periaatteet ovat täsmälleen samat -meidän on liitettävä syöttöarvo -3, jotta löydämme tuloksen.

Joten liitämme -3 hintaan $ x $.

$ h (x) = 4x^2 - 5x $

$ h (-3) = 4 (-3)^2-5 (-3) $

$ h (-3) = 4 (9) + 15 $

$ h (-3) = 36 + 15 $

$ h (-3) = 51 $

Lopullinen vastauksemme on D. , 51.

Sisäkkäiset toiminnot

Toista tyyppistä toimintaongelmaa, jota saatat kohdata ACT: ssä, kutsutaan sisäkkäiseksi funktioksi. Pohjimmiltaan tämä on yhtälö yhtälön sisällä.

Voit ratkaista tämän tyyppiset kysymykset ajattelemalla niitä toimintojärjestyksessäsi. Sinun on aina työskenneltävä sisältä ulospäin, joten etsi ensin sisimmän toiminnon lähtö.

Kun olet löytänyt sisimmän funktion lähdön, voit käyttää sitä ulkoisen funktion tulona.

Katsotaanpa tätä toiminnassa ymmärtääksemme paremmin tätä prosessia.

Jos $ f (x) = 4x+1 $ ja $ g (x) = x^2-2 $, mikä seuraavista on lauseke $ f (g (x)) $?

F . $ -x ^ 2 + 4x + 1 $
G . $ x ^ 2 + 4x-1 $
H . 4x^2-7 $
J . 4x^2-1 $
TO . 16x^2+8x-1 $

Koska $ g (x) $ on sisäkkäin syvin, meidän on käytettävä sen tulo syötteemme arvona $ f (g (x)) $.

Pohjimmiltaan $ x $: n numeron sijasta $ f (x) $: ssa meille annetaan toinen yhtälö , $ g (x) $. Ja kuitenkin, funktion ratkaisemisen periaate on täsmälleen sama kuin edellä funktioyhtälö -osastossamme - korvaa mitä tahansa syötteitämme tulosyhtälön muuttujalla.

Joten aluksi meillä on kaksi funktioyhtälöä.

$ g (x) = x^2 - 2 $

$ f (x) = 4x + 1 $

Korvataan nyt $ x $ $ f (x) $ yhtälöllämme $ g (x) $ koko yhtälöllä.

$ f (x) = 4x + 1 $

$ f (g (x)) = 4 (x^2 - 2) + 1 $

$ f (g (x)) = 4x^2-8 + 1 $

$ f (g (x)) = 4x^2-7 $

Lopullinen vastauksemme on H. , $ f (g (x)) = 4x^2-7 $

Toimintokaaviot

Funktiokaavion kysymys tarjoaa sinulle jo piirretyn funktion ja kysyy siitä mitä tahansa kysymyksiä.

Nämä kysymykset yleensä pyytävät sinua tunnistamaan kaavion tietyt elementit tai etsimään funktion yhtälö kaaviosta.

Niin kauan kuin ymmärrät, että $ x $ on panoksesi ja yhtälösi on $ y $, niin tämäntyyppiset kysymykset eivät ole niin hankalia kuin ne näyttävät.

body_ACT_Functions_6

Tämä kysymys perustuu siihen, että tiedämme, kuinka toisen asteen yhtälön kaava toimii. Jos muistat aiemmasta, toisen asteen yhtälö vaatii neliötehon ja muodostaa paraabelin.

Meille kerrotaan, että $ x $ -koordinaattiarvo neliöidään, joten tiedämme varmasti, että tämä kuvaaja todella muodostaa paraabelin ja on toisen asteen yhtälö. Tämä tarkoittaa, että voimme poistaa vastausvaihtoehdot F ja G, koska ne ovat suoria viivoja, eivät paraboleja.

Nyt meille kerrotaan, että $ y $ -koordinaatin arvo on 1 pienempi kuin $ x $ -koordinaatin neliö. Tiedämme, että vakioasteen kaavayhtälömme on:

$ ax^2 + bx + c $

$ c $ antaa meille $ y $ -interceptin, ja tässä yhtälössä meille kerrotaan, että se on -1.

Tämä tarkoittaa, että voimme poistaa vastausvaihtoehdon H, koska $ y $ -intercept ei ole -1.

Lopuksi meille kerrotaan, että kaavion pisteet ovat AINOA paikka, jossa $ y $ -koordinaatti on pienempi kuin $ x $ -koordinaatti. Tämä tarkoittaa, että kaavion on avattava ylöspäin, mikä tarkoittaa, että voimme poistaa vastausvaihtoehdon K.

Lopullinen vastauksemme on siis J.

Toimintotaulukot

Viimeinen tapa nähdä funktio on sen taulukossa.

Täällä sinulle annetaan taulukko sekä tulon että lähdön arvoista ja sitten pyydetään joko löytämään funktion yhtälö tai funktion kuvaaja.

body_ACT_Functions_15

(Huomaa: sen sijaan, että käyttäisimme $ x $ syöttöaineena, tämä ongelma saa meidät käyttämään $ t $. Jos olet tottunut käyttämään $ f (x) $, tämä saattaa vaikuttaa hämmentävältä, joten voit aina kirjoittaa ongelman uudelleen käyttämällä $ x $ sijasta $ t $. Tässä tapauksessa käytämme edelleen $ t $, jotta voimme pitää ongelman järjestyksessä sivulla.)

Etsi ensin $ y $ -intercept.

$ Y $ -intercept on piste, jossa $ x = 0 $, joten voimme nähdä, että tämä on jo annettu taulukon ensimmäisellä numerosarjalla. Kun $ t = 0 $, $ d $ (muuten ajatus $ f (t) $) on 14.)

$ Y $ -intercept on siis 14, mikä tarkoittaa, että rivimme yhtälö näyttää tältä:

$ y = mx + 14 $

Voimme automaattisesti poistaa vastausvaihtoehdot B, D ja E, koska niiden $ y $ -hyökkäykset eivät ole 14: ssä.

Käytämme nyt strategiaa kytkeä vastaukset, jotta elämämme olisi yksinkertaisempaa. Tällä tavalla meidän ei tarvitse itse löytää yhtälöä - voimme yksinkertaisesti testata, mitkä vastausvaihtoehdot vastaavat taulukossamme annettuja panoksia ja tuloksia.

Vastausvalintamme ovat välillä A ja C, joten testataan ensin A toisella tilatulla parilla.

Mahdollinen yhtälömme on:

$ d = t + 14 $ (tai toisin sanoen: $ f (t) = t + 14 $)

Ja tilattu parimme on:

$ (1, 20) $

Joten laitetaan ne yhteen.

$ f (t) = t + 14 $

$ f (1) = 1 + 14 $

$ f (1) = 15 $

Tämä on väärin, koska se tarkoittaisi, että tuotoksemme on 15, kun panoksemme on 1, ja kuitenkin tilattu pari sanoo, että tuotoksemme on 20, kun panoksemme on 1.

Vastausvaihtoehto A on väärä.

Poistamisprosessin avulla yritämme vastata vaihtoehtoon C.

Mahdollinen yhtälömme on:

$ d = 6t + 14 $ (tai toisin sanoen: $ f (t) = 6t + 14 $)

Ja tilattu pari on jälleen:

$ (1, 20) $

Joten laitetaan ne yhteen.

$ f (t) = 6t + 14 $

$ f (1) = 6 (1) + 14 $

$ f (1) = 6 + 14 $

$ f (1) = 20 $

Tämä vastaa tuloa ja lähtöä, jotka olemme saaneet tilatussa parissamme. Vastausvalinta C on oikea.

on 3,6 hyvä gpa

(Huomaa: yleensä on hyvä idea testata useampaa kuin yhtä tilattua paria, koska kaksi yhtälöä saattaa toisinaan saada saman tilatun parin. Tässä tapauksessa pysähdyimme tähän, koska muita vastausvaihtoehtoja, jotka voisivat mahdollisesti vastata, ei ole.)

Lopullinen vastauksemme on C. , $ d = 6t + 14 $.

body_strategy-6 Nyt kun olemme nähneet määritelmät, puhutaan funktiostrategiasta.

Toimintaongelman ratkaiseminen

Nyt kun olet nähnyt kaikki erilaiset toimintaongelmat toiminnassa, katsotaanpa joitakin vinkkejä ja strategioita toimintoongelmien ratkaisemiseksi.

Selvyyden vuoksi olemme jakaneet nämä strategiat useisiin osiin - vinkkejä kaikkiin toimintaongelmiin ja vinkkejä toimintaongelmiin tyypin mukaan. Katsotaan siis jokaista strategiaa.

Kaikille toimintaongelmille

#1: Seuraa huolellisesti kaikkia palasiasi ja kirjoita kaikki muistiin

Vaikka se saattaa tuntua itsestään selvältä, voi olla helteessä liian helppoa sekoittaa negatiivit ja positiiviset puolet tai asettaa väärin, mikä osa funktiostasi (tai kaaviosta tai taulukosta) on panoksesi ja mikä tuotoksesi. Suluilla on ratkaiseva merkitys.

ACT: n luojat tietävät, kuinka helppoa on saada funktioyhtälöiden palaset sekaisin ja sekoitettuina keskenään (varsinkin kun syötteesi on myös yhtälö), joten pidä kaikki liikkuvat kappaleet tarkasti silmällä ja älä yritä suorittaa toimintoa. ongelmia päässäsi.

#2: Käytä PIA ja PIN tarvittaessa

Kuten näimme yllä olevasta tehtävätaulukko -ongelmastamme, se voi säästää paljon vaivaa ja energiaa vastausten liittämisstrategian käyttämisessä. Voit myös käyttää tekniikkaa liittää omat numerosi testataksesi pisteitä funktiokaavioissa, työskennellä minkä tahansa muuttujan funktioyhtälön kanssa tai työskennellä sisäkkäisten funktioiden kanssa muuttujien kanssa.

Tarkastellaan esimerkiksi aikaisempaa sisäkkäisten toimintojen ongelmaa PIN -koodin avulla. (Muista - voit käyttää PIN -koodia useimmiten aina, kun ongelma liittyy muuttujiin.)

Jos $ f (x) = 4x+1 $ ja $ g (x) = x^2 $, mikä seuraavista $ f (g (x)) $?

F . $ -x ^ 2 + 4x + 1 $
G . $ x ^ 2 + 4x-1 $
H . 4x^2-7 $
J . 4x^2-1 $
TO . 16x^2+8x-1 $

Jos muistamme, miten sisäkkäiset toiminnot toimivat (että toimimme aina nurinpäin), voimme liittää oman numeromme $ x $ funktioon $ g (x) $. Näin meidän ei tarvitse työskennellä muuttujien kanssa ja voimme käyttää sen sijaan todellisia numeroita.

Sanotaan siis, että $ x $ on $ g (x) $ -funktio on 3. (Miksi 3? Miksi ei!)

$ g (x) = x^2 - 2 $

$ g (3) = (3)^2 - 2 $

$ g (3) = 9-2 $

$ g (3) = 7 $

Kytketään nyt tämä numero funktion $ g (x) $ arvoksi sisäkkäiseen funktioomme $ f (g (x)) $.

$ f (x) = 4x + 1 $

$ f (g (3)) = 4 (7) + 1 $

$ f (g (3)) = 28 + 1 $

$ f (g (3)) = 29 $

Lopuksi testataan vastausvaihtoehtojamme nähdäksemme, mikä vastaa löydettyä vastausta 29.

Aloitetaan, kuten tavallista, keskellä vastausvaihtoehdolla H.

4x^2-7 dollaria

Korvaamme nyt $ x $ -arvon $ x $ -arvolla, jonka valitsimme alun perin - 3.

4 dollaria (x) ^ 2 - 7 dollaria

4 (3) ^ 2 - 7 dollaria

4 (9) - 7 dollaria

36–7 dollaria

29 dollaria

Menestys! Olemme löytäneet vastausvaihtoehdon, joka vastaa löydettyä vastaustamme 29. (Huomaa: jos käytät tätä menetelmää testissä, muista testata muita vastausvaihtoehtojasi varmistaaksesi, ettei sinulla ole päällekkäisiä oikeita vastauksia. Voimme selata vastausvaihtoehtojemme yli ja huomaa, että yksikään niistä ei ole 29, kun olemme korvanneet $ x $ 3: lla.)

Lopullinen vastauksemme on H. , 4x^2-7 dollaria

#3: Harjoittele, harjoittele, harjoittele

Lopuksi ainoa tapa saada todella mukava matemaattiseen aiheeseen on harjoitella mahdollisimman monia erilaisia ​​kysymyksiä kyseisestä aiheesta. Jos toiminnot ovat heikko alue sinulle, muista etsiä lisää käytännön kysymyksiä.

Toimintokaavioille ja -taulukoille

#1: Aloita etsimällä $ bi y $ -siepata

Yleensä helpoin paikka aloittaa funktioiden kanssa työskentely on löytää $ y $ -intercept. Sieltä voit usein poistaa useita erilaisia ​​vastausvaihtoehtoja, jotka eivät vastaa kaaviota tai yhtälöämme (kuten teimme joissakin yllä olevissa esimerkeissä).

$ Y $ -intercept on lähes aina helpoin löytää, joten se on aina hyvä paikka aloittaa.

#2: Testaa yhtälösi useita järjestettyjä pareja vastaan

On aina hyvä idea löytää kaksi tai useampia pisteitä (järjestettyjä pareja) funktioistasi ja testata niitä potentiaalifunktioyhtälön perusteella. Joskus yksi tilattu pari toimii kuvaajalle ja toinen ei.

Yhtälö on sovitettava kuvaajaan (tai yhtälö taulukkoon), joka toimii joka koordinaattipiste/tilattu pari, ei vain yksi tai kaksi.

Toimintoyhtälöille ja sisäkkäisille yhtälöille

#1: Työskentele aina nurinpäin

Sisäkkäiset toiminnot voivat näyttää hirveiltä ja vaikeilta, mutta ota ne pala kerrallaan. Laadi yhtälö keskelle ja rakenna sitten hitaasti ulospäin, jotta muuttujasi tai yhtälösi eivät sekoituisi.

#2: Muista FOIL

On melko yleistä, että ACT tekee sinusta neliöllisen yhtälön. Tämä johtuu siitä, että monet oppilaat saavat tämän tyyppiset kysymykset väärin ja jakavat eksponentinsa sen sijaan, että neliöitsisivät koko lausekkeen.

Jos et oikein FOIL, saat nämä kysymykset väärin. Aina kun mahdollista, älä anna itsesi menettää pisteitä tällaisten huolimattomien virheiden vuoksi.

body_challenge

Oletko valmis testaamaan toimintatietosi?

mitä korkeakoulut eivät vaadi, sat

Testaa tietosi

Laitetaan nyt toimintatietomme koetukselle käyttämällä todellisia ACT -matemaattisia tehtäviä.

1. Funktio $ f (x) $ määritellään muodossa $ f (x) =-8x^2 $. Mikä on $ f (-3) $?

F . -72
G . 72
H . 192
J . -576
TO . 576

2.

body_ACT_Functions_1

3. Tarkastellaan funktioita $ f (x) = √x $ ja $ g (x) = 7x+b $. Normaalissa $ (x, y) $ -koordinaattitasossa $ y = f (g (x)) $ kulkee $ (4,6) $. Mikä on $ b $ arvo?

TO . 8 dollaria
B . -8 dollaria
C . -25 dollaria
D . -26 dollaria
JA . $ 4-7√6 $

Neljä.

body_ACT_Functions_17

5. Toiminto P määritellään seuraavasti:

$ x> 0 $, $ (P (x) = x^5+x^4-36x-36 $
x dollarilla<0$, $P(x)=-x^5+x^4+36x-36$

Mikä on $ P (-1) $ arvo?

TO . -70
B . -36
C . 0
D . 36
JA . 70

Vastaukset: F, C, A, F, A

Vastaus selityksiin:

1. Tässä meillä on yksinkertainen funktioyhtälö. Korvataan siis antamamme panos (-3) $ x $ -arvollemme löytääksemme tuotoksemme.

Huomaa, että syy tähän ongelmaan on hankala johtuu monista negatiivisista merkeistä ja neliön sijoittelusta. Mutta niin kauan kuin olemme varovaisia ​​ja pidämme kirjaa kaikista palasistamme, voimme ratkaista ongelman hienosti (lankeamatta syötin vastauksiin!).

$ f (x) = -8x^2 $

$ f (-3) = -8 (-3)^2 $

$ f (-3) = -8 (9) $

$ f (-3) = -72 $

Lopullinen vastauksemme on F. , -72.

2. Tämä kysymys on funktiotaulukko, joten muistetaan funktiotaulukon vinkit ja temput.

Ennen kuin aloitamme, tämä ongelma voi olla hieman hämmentävä, koska kaavion tarrat ovat erilaisia ​​kuin normaalisti käyttämämme. Tietojemme visualisoimiseksi meille annetaan $ x $ tietyllä etäisyydellä siitä, että ostoskori on millä tahansa sekunnilla, $ t $.

Tämä tarkoittaa, että panoksemme on $ t $ (sekuntia) ja tuotoksemme on $ x $ (etäisyys).

Nyt kun näemme tämän, pohditaan ongelmaa.

Etsi ensin $ y $ -intercept.

Onneksi meille annetaan koordinaattipari $ t = 0 $, $ x = 10 $. Koska $ t $ toimii syöttöarvona ($ x $ -koordinaattimme) ja $ x $ toimii tuotoksena (y-koordinaattina), voimme nähdä, että $ y $ -intercept on piste, jossa $ t = 0 $.

Tämä tarkoittaa, että $ y $ -intercept on 10.

Tietäen, että tämä on lineaarinen funktio ja viivan kuvaaja on $ y = mx + b $, voimme poistaa vastausvaihtoehdot B, D ja E.Kumpikaan niistä ei anna y-leikkausta 10: ksi, joten yksikään niistä ei voi olla oikea vastaus.

Käytämme nyt PIA -strategiaamme löytääksemme suoran yhtälön olemassa olevien koordinaattipisteidemme avulla.

Testaa siis piste $ (2, 18) $ ja katso, mikä jäljellä olevista yhtälöistämme (vastausvaihtoehto A tai vastausvaihtoehto C) antaa meille nämä koordinaatit.

Kokeillaan ensin vastausvaihtoehtoa A.

$ x = t + 10 $

$ x = 2 + 10 $

x $ = 12 dollaria

Vastausvaihtoehto A on väärä. Kun $ t = 2 $, $ x $ pitäisi olla 18.

Joten testataan vastausvaihtoehtoa C sen sijaan nähdäksemme, vastaako se meidän (2, 18) $ panostamme ja tuotostamme.

x x = 4 t + 10 dollaria

$ x = 4 (2) + 10 $

$ x = 8 + 10 $

x $ = 18 dollaria

Menestys! Olemme löytäneet oikean yhtälön.

Lopullinen vastauksemme on C. , $ x = 4t + 10 $

3. Tämä on sisäkkäinen funktio -ongelma, joka vaatii meitä ymmärtämään, että koordinaattipisteet voivat toimia tuloina ja lähtöinä.

Joten jos ratkaisemme sisäkkäisen yhtälön normaalisti (muistaaksemme toimia nurinpäin), näemme:

$ g (x) = 7x + b $

$ f (x) = √x $

$ f (g (x)) = √ {7x + b} $

Muistettaessa, että $ f (x) $ on lähinnä toinen tapa sanoa $ y $ (koordinaattien suhteen), voimme sanoa:

$ y = √ {7x + b} $

Päästämme nyt eroon juurista neliöimällä molemmat puolet (jos haluat lisätietoja juurista ja neliöistä, tutustu oppaaseemme kehittyneisiin kokonaislukuihin). Tämä antaa meille:

$ y^2 = 7x + b $

Tiedämme, että funktio kulkee koordinaattipisteen $ (4, 6) $ kautta, mikä tarkoittaa, että voimme korvata x- ja y-arvot funktioyhtälössämme $ x $ ja $ y $. Niin:

$ y^2 = 7x + b $

$ (6) ^ 2 = 7 (4) + b $

36 dollaria = 28 + b $

8 dollaria = b $

Lopullinen vastauksemme on A. , $ b = 8 $.

Neljä. Tämäntyyppisessä kuvaajakysymyksessä meitä pyydetään tunnistamaan, miten nämä kaksi kaaviota ovat vuorovaikutuksessa. Jopa tietämättä niiden yhtälöitä, voimme ymmärtää - vain kaavion kautta - paljon tietoa kahdesta toiminnastamme.

Tässä tapauksessa voimme nähdä, että kaksi funktiota leikkaavat täsmälleen kahdessa kohdassa. Tämä tarkoittaa, että ne ovat yhtä suuria kahdella $ x $ arvolla.

Joten vastausvaihtoehto F on oikea.

Mutta ennen meitä valitse vastausvaihtoehto F, käytämme myös aikaa muiden vastausvaihtoehtojemme poistamiseen.

Tiedämme, että vastausvaihtoehto G on väärä, koska olemme jo todenneet, että kaksi kuvaajaa leikkaavat kahdessa pisteessä ja että niillä on kaksi arvoa $ x $, joissa ne ovat yhtä suuret, ei 1.

Vastausvaihtoehdot H ja J ovat molemmat vääriä, koska on olemassa x-koordinaattipisteitä, joissa kaavio $ f (x) $ on korkeampi (suurempi) kuin $ g (x) $ ja $ x $ -koordinaattipisteet, joissa $ f (x) $ on pienempi. Kumpikaan funktio ei ole suurempi (tai pienempi) $ x $: n kaikissa pisteissä kuin toinen funktio.

Ja lopuksi vastausvaihtoehto K on myös väärä, koska nämä ovat kaksi eri funktiota - neliöllinen ja lineaarinen - eivät käänteisfunktioita. Käänteisfunktio tuottaisi samantyyppisen kuvaajan, vain ylösalaisin.

Tiedämme, että alkuperäinen vastausvalintamme on oikea, ja olemme poistaneet muut onnistuneesti.

Lopullinen vastauksemme on F.

5. Tämä on funktio, jolla on kaksi erilaista yhtälöä syöttöarvostamme riippuen. Joten meidän on ensin määritettävä, mitä yhtälöä käytämme, jotta voimme löytää tuloksen tietylle syötteellemme.

Saamme panoksemme ($ x $) -1. Tiedämme myös, että meidän on käytettävä toista funktioyhtälöä mille tahansa $ x $, joka on alle 0.

Tämä tarkoittaa, että meidän on käytettävä toista funktioyhtälöä $ p (x) = -x^5 + x^4 + 36x - 36 $

Joten nyt vain liitämme syöttöarvon -1 (ollessamme erittäin varovaisia ​​kaikkien negatiivisten merkkiemme suhteen).

$ p (x) = -x^5 + x^4 + 36x - 36 $

$ p (-1) =-(-1)^5 + (-1)^4 + 36 (-1)-36 $

$ p (-1) = -( -1) + (1) -36-36 $

$ p (-1) = 1 + 1-36-36 $

$ p (-1) = 2-72 $

$ p (-1) = -70 $

Lopullinen vastauksemme on A. , -70.

body_hurray

Onnittelut! Olet oppinut ACT -toiminnot!

Ota pois

Vaikka toimintoongelma voidaan esittää monella eri tavalla, perusperiaatteet ovat aina samat. Riippumatta yhtälöstä tai kaaviosta, toiminnot katsovat aina tuloja ja lähtöjä sekä näiden kahden suhdetta.

Niin kauan kuin muistat funktioiden määritelmät (ja vastaavat kaavion muodot) ja pidät selkeän pään, ja huomaat, että toiminnot eivät ole niin vaikeita kuin ne ovat ehkä ilmestyneet.

Mielenkiintoisia Artikkeleita

2.2 GPA: Onko tämä hyvä? Korkeakoulut, joihin pääset 2.2

Mikä on 2.2 GPA? Onko se hyvä vai huono, ja mitkä oppilaitokset hyväksyvät 2.2 GPA: n? Ota selvää, mihin kouluihin pääset.

Kalifornian taiteen instituutin pääsyvaatimukset

22 keskeistä alkemiasymbolia ja niiden merkitykset

Mitä ovat alkemiasymbolit? Katso täydellinen oppaamme tärkeimmistä alkemiasymboleista ja merkityksistä.

Täsmälleen mitä odottaa AP -kielen monivalinnalta

Oletko hämmentynyt tukiaseman kielen ja kokoonpanon monivalinnoista? Selitämme eri kysymystyyppejä ja tarjoamme asiantuntijavinkkejä, joiden avulla voit ässää kokeen.

3 tärkeintä vinkkiä erottuvaan Cornell-esseeseen

Kamppailetko Cornellin essee -kehotteen kanssa? Opi kirjoittamaan suuri Cornell -lisäesite, joka saa sovelluksesi loistamaan.

Paras Algebra 1 Regents -katsausopas 2021

Otatko Algebra 1 Regents -kokeen? Tutustu asiantuntija -arvio -oppaaseemme opintovihjeitä ja neuvoja varten.

Fordhamin yliopiston pääsyvaatimukset

Kuinka saada 36 ACT English: 10 strategiaa täydeltä maalintekijältä

Pisteytys 36 ACT-englanniksi vaatii täydellisyyttä. Opi ACT-asiantuntijan kriittiset strategiat tämän osan hallitsemiseksi.

Clayton State Universityn pääsyvaatimukset

Parhaat ACCUPLACER-harjoituskokeet: matematiikka, lukeminen ja paljon muuta

Tarvitsetko ACCUPLACER-harjoitustestin? Katso kokoelmamme kirjoittamisen, lukemisen ja matematiikan ACCUPLACER-harjoitustesteistä.

Jazzista Jambalayaan: 11 hauskaa tekemistä New Orleansissa

Mietitkö mitä tehdä New Orleansissa? Katso luettelo suosituimmista nähtävyyksistä ja piilotetuista helmistä, mukaan lukien suokierrokset, kreoliruoka ja ranskalainen kortteli.

Montserratin taiteen korkeakoulun pääsyvaatimukset

Caltech vs MIT: Mikä on parempi?

Onko Caltech parempi kuin MIT? Mikä koulu sopii sinulle? Opi eroja näiden huipputekniikan korkeakoulujen välillä.

Malone Universityn pääsyvaatimukset

New Jerseyn teknologiainstituutin pääsyvaatimukset

Kuinka päästä sisään: Temple Universityn pääsyvaatimukset

Stonehill College SAT -tulokset ja GPA

Kuinka tarkastukset ja saldot toimivat Yhdysvaltain hallituksessa

Mitä ovat sekit ja saldot? Kuinka ne toimivat? Täydellinen tarkistus- ja saldomääritelmäoppaamme jakaa tämän Yhdysvaltojen hallituksen näkökohdan yksityiskohtaisella esimerkillä.

Parhaat koulut Kaliforniassa | Capistrano Connections Academy Charter School -sijoitukset ja tilastot

Löydä osavaltioiden rankingit, SAT / ACT-tulokset, AP-luokat, opettajien verkkosivustot, urheilutiimit ja paljon muuta Capistrano Connections Academy Charter Schoolista Aliso Viejo, Kalifornia.

2016-17 Akateeminen opas | Oak Parkin lukio

Löydä osavaltioiden sijoitukset, SAT/ACT -tulokset, AP -tunnit, opettajien verkkosivustot, urheiluryhmät ja paljon muuta Oak Park High Schoolista paikassa Oak Park, CA.

New Yorkin sisustuskoulun pääsyvaatimukset

1060 SAT-pisteet: Onko tämä hyvä?

Amerikan katolisen yliopiston pääsyvaatimukset

Covenant Collegen pääsyvaatimukset

UNT ACT -pisteet ja GPA