3 Asiantuntijan vinkkejä yksikköympyrän käyttämiseen

feature_wikimedia_unit_circle

Jos opiskelet triggeriä tai laskinta tai olet valmistautumassa siihen, sinun on perehdyttävä yksikköpiiriin. Yksikköympyrä on olennainen työkalu, jota käytetään kulman sinin, kosinin ja tangentin ratkaisemiseen. Mutta miten se toimii? Ja mitä tietoja sinun on tiedettävä voidaksesi käyttää niitä?

Tässä artikkelissa selitämme, mikä on yksikköympyrä ja miksi sinun pitäisi tietää se. Annamme sinulle myös kolme vinkkiä, jotka auttavat sinua muistamaan yksikköympyrän käytön.



Ominaisuuskuva: Gustavb /Wikimedia

Yksikköympyrä: Perusjohdanto

Yksikköympyrä on ympyrä, jonka säde on 1. Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa suoran, joka on piirretty ympyrän keskipisteestä mihin tahansa ympyrän reunan pisteeseen, kyseisen suoran pituus on aina yhtä suuri. (Tämä tarkoittaa myös sitä, että ympyrän halkaisija on 2, koska halkaisija on kaksi kertaa säteen pituus.)

Tyypillisesti, yksikköympyrän keskipiste on siellä, missä x-akseli ja y-akseli leikkaavat tai koordinaateissa (0, 0):

body_wikimedia_unit_circle

Yksikköympyrä tai triggeriympyrä, kuten se myös tunnetaan, on hyödyllistä tietää, koska sen avulla voimme helposti laskea minkä tahansa 0 ° - 360 ° (tai 0 ja 2π radiaanin) välisen kulman kosinin, sinin ja tangentin.

suuri Gatsbyn tuhkalaakso

Kuten yllä olevasta kaaviosta näet, piirtämällä säteen mihin tahansa kulmaan (merkitty kuvassa ∝), muodostat suorakulmion. Tässä kolmiossa kosini on vaakasuora viiva ja sini on pystysuora viiva. Toisin sanoen, kosini =x-koordinaatti ja sini = y-koordinaatti. (Kolmion pisin viiva eli hypotenuusa on säde ja on siis yhtä suuri kuin 1.)

Miksi tämä kaikki on tärkeää? Muista, että voit ratkaista kolmion sivujen pituudet käyttämällä Pythagoraan lause tai $ a^2+b^2 = c^2 $ (jossa kohteeseen ja b ovat kolmion sivujen pituudet ja c on hypotenuusan pituus).

Tiedämme, että kulman kosini on yhtä suuri kuin vaakasuoran viivan pituus, sini on yhtä suuri kuin pystyviivan pituus ja hypotenuusa on 1. Siksi voimme sanoa, että yksikköympyrän minkä tahansa suorakulmion kaava on seuraava:

$$ cos ^ 2θ + sin ^ 2θ = 1 ^ 2 $$

Koska $ 1^2 = 1 $, voimme yksinkertaistaa tätä yhtälöä seuraavasti:

$$ cos ^ 2θ + sin ^ 2θ = 1 $$

Ole tietoinen siitä nämä arvot voivat olla negatiivisia riippuen muodostetusta kulmasta ja siitä, mihin neljännekseen x- ja y-koordinaatit kuuluvat (selitän tämän tarkemmin myöhemmin).

Tässä on yleiskatsaus yksikköympyrän kaikista suurista kulmista asteina ja radiaaneina:

body_unit_circle_degrees

Yksikköympyrä - astetta

body_unit_circle_radians

Yksikköympyrä - radiaanit

Mutta entä jos kolmiota ei ole muodostettu? Katsotaanpa mitä tapahtuu, kun kulma on 0 ° ja muodostaa vaakasuoran suoran x-akselia pitkin:

body_unit_circle_cos_1_sin_0

Tällä rivillä x-koordinaatti on 1 ja y-koordinaatti on 0. Tiedämme sen kosini on yhtä suuri kuin x-koordinaatti ja sini on y-koordinaatti, joten voimme kirjoittaa tämän:

  • $ cos0 ° = 1 $
  • $ sin0 ° = 0 $

Mitä jos kulma on 90 ° ja muodostaa täysin pystysuoran viivan y-akselia pitkin?

body_unit_circle_cos_0_sin_1

Tässä voimme nähdä, että x-koordinaatti on 0 ja y-koordinaatti on 1. Tämä antaa meille seuraavat arvot sinille ja kosinille:

  • $ cos90 ° = 0 $
  • $ sin90 ° = 1 $

body_know_your_enemy Tämä iskulause pätee ehdottomasti, jos et ole matematiikan ystävä.



Miksi sinun pitäisi tietää yksikköympyrä

Kuten edellä todettiin, yksikköympyrä on hyödyllinen, koska sen avulla voimme helposti ratkaista minkä tahansa asteen tai radiaanin sinin, kosinin tai tangentin. On erityisen hyödyllistä tietää yksikköympyräkaavio, jos sinun on ratkaistava tietyt matemaattisten kotitehtävien trig -arvot tai jos valmistaudut laskennan opiskeluun.

Mutta miten yksikköympyrän tunteminen voi auttaa sinua? Oletetaan, että sinulle annetaan seuraava tehtävä matemaattisessa kokeessa - ja olet ei saa käyttää laskinta sen ratkaisemiseen:

$$ sin30 ° $$

Mistä aloitat? Katsotaanpa yksikköympyräkaaviota uudelleen - tällä kertaa kaikki suuret kulmat (sekä asteina että radiaaneina) ja niitä vastaavat koordinaatit:

body_wikimedia_unit_circle_complete_chart Jim. Belk /Wikimedia

Älä lannistu! Muista, että ratkaiset vain $ sin30 ° $. Katsomalla tätä kaaviota voimme nähdä sen y-koordinaatti on $ 1/2 $ 30 °: ssa. Ja koska y-koordinaatti on sini, vastauksemme on seuraava:

$$ sin30 ° = 1/2 $$

Mutta entä jos saat ongelman, joka käyttää radiaaneja asteiden sijaan? Prosessi sen ratkaisemiseksi on edelleen sama. Sano esimerkiksi, että saat seuraavanlaisen ongelman:

$$ cos {{3π} / 4} $$

Jälleen yllä olevan kaavion avulla voimme nähdä, että $ {3π}/4 $ (joka vastaa 135 °) x-koordinaatti (tai kosini) on $-{√2}/2 $. Vastauksemme tähän ongelmaan näyttää tältä:

Plymouth State Universityn hyväksymisaste

$$ cos ({3π} / 4) = - {√2} / 2 $$

Kaikki tämä on melko helppoa, jos sinulla on yllä oleva yksikköympyräkaavio viitteenä. Mutta useimmiten (ellei koko ajan) näin ei ole, ja sinun odotetaan vastaavan tämän tyyppisiin matemaattisiin kysymyksiin vain aivosi avulla.

Joten kuinka voit muistaa yksikköympyrän? Lue parhaat vinkkimme!

Yksikön ympyrän muistaminen: 3 olennaista vinkkiä

Tässä osiossa annamme sinulle tärkeimmät vinkkimme trig -ympyrän muistamiseen, jotta voit käyttää sitä helposti kaikkiin sitä vaativiin matemaattisiin ongelmiin.

body_remember_note En suosittelisi yksikköympyrän harjoittelua post-sen kanssa, mutta hei, se on alku.

#1: Muista yhteiset kulmat ja koordinaatit

Jotta voit käyttää yksikköympyrää tehokkaasti, sinun on muistaa yleisimmät kulmat (sekä asteina että radiaaneina) sekä niitä vastaavat x- ja y-koordinaatit.

Yllä oleva kaavio on hyödyllinen yksikköympyräkaavio tarkasteltavaksi, koska se sisältää kaikki tärkeimmät kulmat sekä asteina että radiaaneina niiden vastaavien koordinaattipisteiden x- ja y-akselien lisäksi.

Tässä on kaavio, jossa luetellaan nämä samat tiedot taulukkomuodossa:

Kulma (astetta) Kulma (radiaanit) Pisteen koordinaatit ympyrässä
0 ° / 360 ° 0 / 2π (1, 0)
30 ° $ π / 6 $ $ ({√3} / 2, 1/2) $
45 ° $ π / 4 $ $ ({√2} / 2, {√2} / 2) $
60 ° $ π / 3 $ $ (1/2, {√3} / 2) $
90 ° $ π / 2 $ (0, 1)
120 ° $ {2π} / 3 $ $ (- 1/2, {√3} / 2) $
135 ° $ {3π} / 4 $ $ (-- {√2} / 2, {√2} / 2) $
150 ° {5π} / 6 $ $ (- {√3} / 2, 1/2) $
180 ° Pi (-1, 0)
210 ° {7} / 6 dollaria $ ( - {√3} / 2, -1/2) $
225 ° {5π} / 4 $ $ ( - {√2} / 2, - {√2} / 2) $
240 ° {4π} $ / 3 $ $ ( - 1/2, - {√3} / 2) $
270 ° $ {3π} / 2 $ (0, -1)
300 ° {5π} / 3 $ $ (1/2, - {√3} / 2) $
315 ° $ {7π} / 4 $ $ ({√2} / 2, - {√2} / 2) $
330 ° {11π} / 6 $ $ ({√3} / 2, -1/2) $

Nyt kun olet enemmän kuin tervetullut yrittämään muistaa kaikki nämä koordinaatit ja kulmat, tämä on paljon muistettavia asioita.

Onneksi on olemassa temppu, jonka avulla voit muistaa yksikköympyrän tärkeimmät osat.

Katso yllä olevia koordinaatteja ja huomaat selkeän kuvion: kaikki pisteet (lukuun ottamatta 0 °, 90 °, 270 ° ja 360 ° kulmia) Vaihda vain kolmen arvon välillä (olivatpa ne positiivisia tai negatiivisia):

  • $ 1 / $ 2
  • $ {√2} / 2 $
  • $ {√3} / 2 $

Jokainen arvo vastaa lyhyt, keskipitkä tai pitkä rivi sekä kosinille että sinille:

body_unit_circle_cos_lines

body_unit_circle_sin_lines

Nämä pituudet tarkoittavat seuraavaa:

  • Lyhyt vaaka- tai pystyviiva = 1 /2 dollaria
  • Keskipitkä vaaka- tai pystyviiva = $ {√2} / 2 $
  • Pitkä vaaka- tai pystyviiva = $ {√3} / 2 $

Jos esimerkiksi yrität ratkaista $ cos {π/3} $, sinun pitäisi heti tietää, että tämä kulma (joka on yhtä suuri kuin 60 °) osoittaa lyhyt vaakasuora viiva yksikköympyrässä. Siksi, sitä vastaavan x-koordinaatin on oltava $ 1/2 $ (positiivinen arvo, koska $ π/3 $ luo pisteen koordinaatiston ensimmäiseen neljännekseen).

Lopuksi, vaikka on hyödyllistä muistaa kaikki yllä olevan taulukon kulmat, huomaa se ylivoimaisesti tärkeimmät muistettavat kulmat ovat seuraavat:

  • 30 ° / $ π / 6 $
  • 45 ° / $ π / 4 $
  • 60 ° / $ π / 3 $

body_positive_negative_cables Käsittele negatiivit ja positiiviset asiat kuten kaapeleita, jotka voivat tappaa sinut, jos ne on kytketty väärin.

#2: Opi mikä on negatiivista ja mikä positiivista

On tärkeää, että pystyt erottamaan positiiviset ja negatiiviset x- ja y-koordinaatit, jotta löydät oikean arvon trig-ongelmalle. Muistutuksena, sisään kun yksikköympyrän koordinaatti on positiivinen tai negatiivinen, riippuu mihin neljännekseen (I, II, III tai IV) piste kuuluu:

body_unit_circle_quadrants

Tässä on kaavio, joka osoittaa, onko koordinaatti positiivinen vai negatiivinen kvadrantin perusteella tietyn kulman (asteina tai radiaaneina) ollessa:

Kvadrantti X-koordinaatti (kosini) Y-koordinaatti (Sine)
Minä + +
yyl - +
III - -
IV + -

Oletetaan esimerkiksi, että sinulle annetaan seuraava tehtävä matemaattisessa kokeessa:

$$ cos210 ° $$

Ennen kuin yrität edes ratkaista sitä, sinun pitäisi pystyä tunnistamaan, että vastaus on negatiivinen luku koska kulma 210 ° putoaa neljänneksessä III (missä x-koordinaatit ovat aina negatiivinen).

Käyttämällä vihjeessä 1 opittua temppua voit selvittää, että 210 ° kulma luo pitkä vaakasuora viiva. Siksi vastauksemme on seuraava:

$$ cos210 ° =-{√3}/2 $$

#3: Osaa ratkaista Tangentti

Lopuksi on välttämätöntä tietää, kuinka käyttää kaikkia näitä tietoja triggereistä, sinistä ja kosinista voidakseen ratkaise kulman tangentti.

Trigissä voit löytää kulman θ tangentin (joko asteina tai radiaaneina) yksinkertaisesti jaa sini kosinilla:

$$ tanθ = { sinθ}/{ cosθ} $$

Oletetaan esimerkiksi, että yrität vastata tähän ongelmaan:

$$ tan300 ° $$

Ensimmäinen askel on asettaa yhtälö sinin ja kosinin suhteen:

$$ tan300 ° = { sin300 °}/{ cos300 °} $$

Nyt, jotta voimme ratkaista tangentin, meidän on löydettävä sini ja kosini 300 °. Sinun pitäisi pystyä tunnistamaan nopeasti, että kulma 300 ° putoaa neljänteen neljännekseen, mikä tarkoittaa sitä kosini eli x-koordinaatti on positiivinen ja sini eli y-koordinaatti negatiivinen.

Sinun pitäisi myös tietää se heti kulma 300 ° luo lyhyt vaakasuora viiva ja pitkä pystyviiva. Siksi kosini (vaakasuora viiva) on $ 1/2 $ ja sini (pystysuora viiva) on $-{√3}/2 $ (negatiivinen y-arvo, koska tämä piste on neljänneksessä IV) .

Nyt löytääksesi tangentin, sinun tarvitsee vain kytkeä ja ratkaista:

$$ tan300 ° = {-{√3}/2}/{1/2} $$

$$ tan300 ° = -√3 $$

body_cat_practicing_golf On aika harjoitella matemaattisten taitojesi käyttöä!

Yksikköympyrän käytännön kysymyssarja

Nyt kun tiedät, miltä yksikköympyrä näyttää ja miten sitä käytetään, testataan oppimaasi muutamalla harjoitusongelmalla.

Kysymyksiä

  1. $ sin45 ° $
  2. $ cos240 ° $
  3. $ cos {5π} / 3 $
  4. $ tan {2π} / 3 $

Vastaukset

  1. $ {√2} / 2 $
  2. -1 dollaria / 2 dollaria
  3. $ 1 / $ 2
  4. $ -√3 $

Vastaa selityksiin

#1: $ sin45 ° $

Tämän ongelman vuoksi on kaksi tietoa, jotka sinun pitäisi pystyä tunnistamaan heti:

  • Vastaus on myönteinen, koska kulma 45 ° on neljänneksessä I ja kulman sini on yhtä suuri kuin y-koordinaatti
  • Kulma 45 ° luo keskipitkä pystysuora viiva (heidän)

Koska 45 ° osoittaa positiivisen, keskipitkän viivan, oikea vastaus on $ {√2} / 2 $.

Jos et ole varma, miten tämä selvitetään, piirrä kaavio, joka auttaa sinua määrittämään, onko viivan pituus lyhyt, keskipitkä vai pitkä.

nestemäärän alijäämän hoitosuunnitelma

#2: $ cos240 ° $

Kuten yllä oleva ongelma #1, on kaksi tietoa, jotka sinun pitäisi pystyä ymmärtämään nopeasti tämän ongelman kanssa:

  • Vastaus on kieltävä, koska kulma 240 ° on neljänneksessä III ja kulman kosini on yhtä suuri kuin x-koordinaatti
  • Kulma 240 ° luo lyhyt vaakasuora viiva (kosinille)

Koska 240 ° osoittaa negatiivisen, lyhyen viivan, oikea vastaus on -1 $ / 2 $.

# 3: $ cos {5π} / 3 $

Toisin kuin yllä olevat ongelmat, tämä ongelma käyttää radiaanit tutkintojen sijaan. Vaikka tämä saattaa saada ongelman näyttämään vaikeammalta ratkaista, todellisuudessa se käyttää samoja perusvaiheita kuin kaksi muuta ongelmaa.

Ensinnäkin sinun on tunnistettava, että kulma $ {5π}/3 $ on neljänneksessä IV, joten x-koordinaatti eli kosini on positiivinen luku. Sinun pitäisi myös pystyä kertomaan se{5π} / 3 $luo lyhyt vaakasuora viiva.

Tämä antaa sinulle tarpeeksi tietoa sen määrittämiseksi vastaus on $ 1/2 $.

# 4: $ tan {2π} / 3 $

Tämä ongelma koskee tangenttia sinin tai kosinin sijasta, mikä tarkoittaa, että se vaatii hieman enemmän matematiikkaa. Ensinnäkin, muista peruskaava tangentin löytämiseksi:

$$ tan θ = { sin θ} / { cos θ} $$

Otetaan nyt meille annettu tutkinto - $ {2π}/3 $- ja liitä se tähän yhtälöön:

$$ tan {2π} / 3 = { sin {2π} / 3} / { cos {2π} / 3} $$

Sinun pitäisi nyt pystyä ratkaisemaan sini ja kosini erikseen käyttämällä yksikköympyrästä muistamiasi tietoja. Koska kulma $ {2π}/3 $ on neljänneksessä II, x-koordinaatti (tai kosini) on negatiivinen ja y-koordinaatti (tai sini) positiivinen.

Seuraavaksi sinun pitäisi pystyä määrittämään pelkän kulman perusteella vaakasuora viiva lyhyt jono, ja pystyviiva on pitkä jono. Tämä tarkoittaa, että kosini on $ -1/2 $ ja sini on $ {√3}/2 $.

Nyt kun olemme selvittäneet nämä arvot, meidän tarvitsee vain liittää ne alkuperäiseen yhtälöomme ja ratkaista tangentti:

$$ tan {2π} / 3 = {{√3} / 2} / {- 1/2} $$

$$ tan {2π} / 3 = -√3 $$

Mielenkiintoisia Artikkeleita

3 SAT Passport to Advanced Math -strategiaa

Etkö ole varma, mitä odottaa Passportista Advanced Math kysymyksiin SAT Mathista? Täydellinen oppaamme selittää, mitä he kattavat ja miten hyökätä heitä vastaan.

Kuinka tervehtiä italiaksi: 6 yhteistä tervehdystä

Yritätkö sanoa hei italiaksi? Selitämme erilaisia ​​tapoja tervehtiä italiaksi.

Mitä tarvitset SMU: lle: ACT -tulokset ja GPA

Occidental College pääsyvaatimukset

Whittier College SAT -tulokset ja GPA

Täydellinen luettelo SUNY -kouluista: kuinka valita sinulle sopiva

Käymme läpi täydellisen luettelon SUNY-kouluista keskittyen 4-vuotisiin oppilaitoksiin. Selvitä, mikä SUNY -koulu on sinulle paras!

Lawrencen yliopiston ACT -tulokset ja GPA

Kuinka valmistautua Pre-Med-lukioon

Haluatko aloittaa varhaisessa vaiheessa pre-med-vaatimukset? Opi valmistautumaan lukion alussa alkavan lääketieteellisen koulun tiukkuuteen.

Kuinka monta kysymystä voit ohittaa saadaksesi hyvän ACT -pistemäärän?

Tavoitteena on hyvä ACT -pisteet ja mietit kuinka monta kysymystä voit ohittaa? Tässä on täydellinen opas ACT -testin ottamisstrategiaan pisteidesi maksimoimiseksi.

Kuinka päästä sisään: Miamin yliopiston pääsyvaatimukset

Kaikki saatavilla olevat IB Economics -paperit: ilmainen ja virallinen

Haluatko harjoittaa IB Economicsin aiempia papereita? Olemme koonneet kaikki HL- ja SL -aikaisemmat paperit, joita voimme löytää tästä luettelosta. Käytä näitä testejä valmistautuaksesi oikeaan IB -testiin.

University of the District of Columbia Pääsyvaatimukset

4.4 GPA: Onko tämä hyvä? Korkeakoulut, joihin pääset 4.4

Mikä on 4.4 GPA? Onko se hyvä vai huono, ja mitkä korkeakoulut hyväksyvät 4.4 GPA: n? Selvitä, mihin kouluihin voit päästä.

Xavier University ACT -pisteet ja GPA

Ivy League -sijoitukset: Mitä ne todella tarkoittavat?

Mietitkö, mitkä ovat Ivy-liigan parhaat koulut? Tässä oppaassa luokitellaan korkeakoulu ja selitetään, miten he vertailevat ja miten valita paras sinulle.

Assonanssin ymmärtäminen: 6 esimerkkiä, analysoitu

Mikä on assonanssi? Opi assonanssimääritelmä ja tutustu esimerkkeihin eri tavoista, joita sitä voidaan käyttää runoudessa ja proosassa.

12 parasta luovien kirjoitusten korkeakoulua ja ohjelmaa

Etsitkö maan parhaita luovien kirjoitusten korkeakouluja? Katso 12 suosituinta luetteloa luovien kirjoitusten pääaineista ja ohjelmista.

College GPA -vaatimukset: Mitä tarvitset päästäksesi sisään?

Mietitkö korkeakoulujen GPA-vaatimuksia? Tässä artikkelissa selitetään, mitä he ovat ja kuinka varmistaa, että arvosanat tekevät leikkauksen.

Havaijin Tyynenmeren yliopiston SAT-tulokset ja GPA

Täydellinen luettelo: Etelä -Carolinan korkeakoulut + sijoitukset/tilastot (2016)

Haetko oppilaitoksia Etelä -Carolinassa? Meillä on täydellinen luettelo Etelä -Carolinan parhaista kouluista, joiden avulla voit päättää, minne mennä.

Vaaka- ja syöpäyhteensopivuus: tulevatko ne yhteen?

Tulevatko Syöpä ja Vaaka toimeen? Täydellinen opas Vaaka-syöpä-yhteensopivuudesta katkaisee, miten tämä pari liittyy.

Butlerin yliopiston ACT -tulokset ja GPA

Kuinka päästä: Fordhamin yliopiston SAT-tulokset ja GPA

Lewis & Clark Collegen pääsyvaatimukset

Etelä -Alabaman yliopiston pääsyvaatimukset